整数問題

質問

a,bを整数とする。
a^2009+b^2009となる正の整数が２００９桁以下であるとき、
このような整数は何通りあるか。

正直どこをとっかかりにするとよいのか分からないが、
考えてみたのは、
(1)a,bがどちらも正の整数でa>=bのときを考える。
(2)(1)のとき、２００９桁以下だから、1=<a=<9が必要となる。
(3)1=<a=<9のそれぞれのaの値に対して、bの値を考えるが、２００９桁を超すのが
　bがどの値のときか、またはすべての1=<b=<9で２００９桁を超さないのか、判断できず。

上の場合分けだと、b=<0=<a のとき、を考えなければならないが、
このときは、aはいくらでも大きくできるのでないかと思い、この考え方はだめだと思った。

よろしくアドバイスお願いします。

回答No.7

tmpname · ベストアンサー

と後はa^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009
となる場合はどのようなものがあるかを調べる必要が
ありますが、
（但しa,b,x,yは共に整数で両辺共に正）
[かぶっている整数は合わせて1つと数える必要がある]

この場合a,b,x,yの中で絶対値が最も大であるもの
（の1つが）yであったとして

y^2009 = a^2009 + b^2009 - x^2009
よって|y|^2009 ≦ |a|^2009 + |b|^2009 + |x|^2009
でいまa,b,xの絶対値の中で最も大であるものをmとすると
|y|^2009 ≦ 3*(m^2009)ですが、
今|y|> mとすると、|y|≧m+1であって、明らかにm≠0ですが、

|y|^2009 - 3*(m^2009)
≧ (m+1)^2009 - 3*(m^2009)
= (m^2009) * ((1+1/m)^2009 - 3)
≧ 1 * (1.1^2009 - 3)　(m ≦ 10)
> 0となっておかしいのでm=|y|, すなわち
a,b,xの内何れか一つは絶対値がyと等しい必要がある。これから
a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009 となるのは
「自明な場合」だけであることが分かるでしょう。

あとは数え上げるだけです。

お礼

回答ありがとうございます
［かぶっている整数は合わせて1つと数える必要がある]
というのは、もし、a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009
となったらa=x,b=yであるということなのでしょうか。
難しい・・・・

回答No.14

staratras

a　 マイナス←a
ｂ↓ a-十 九 八 七 六 五 四 三 二 一 零 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
b +十 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 過 過 過 過 過 過 過 過 過 過 過
b +九 負 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 適 過
b +八 負 負 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 適 適 過
b +七 負 負 負 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 適 適 適 過
b +六 負 負 負 負 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 正 適 適 適 適 過
b +五 負 負 負 負 負 零 正 正 正 正 正 正 正 正 正 適 適 適 適 適 過
b +四 負 負 負 負 負 負 零 正 正 正 正 正 正 正 適 適 適 適 適 適 過
b +三 負 負 負 負 負 負 負 零 正 正 正 正 正 適 適 適 適 適 適 適 過
b +二 負 負 負 負 負 負 負 負 零 正 正 正 適 適 適 適 適 適 適 適 過
b +一 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 正 適 適 適 適 適 適 適 適 適 過
b　零 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適 適 適 適 適 過
b - 一 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適 適 適 適 適
b - 二 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適 適 適 適
b - 三 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適 適 適
b - 四 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適 適
b - 五 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適 適
b - 六 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適 適
b - 七 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適 適
ｂ - 八 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適 適
b - 九 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零 適
b - 十 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 負 零

N0.9です。画像添付が不調だったので漢字で一覧表を作りました。
aは左から右に-１０から+１０まで、bは下から上へ-１０から+１０までです。
a^2009+b^2009が2009桁以下の正の整数になる組み合わせのうち
a≧bを満たすものを「適」、a<bのものを「正」としています。

回答No.13

staratras

No.9です。パソコンを変えて画像を再々送いたします。

回答No.12

staratras

No.9です。画像の添付がうまくいかなかったので再送します。

回答No.11

staratras

No.9です。N0.10様のご指摘のとおり、最後の最後が不十分でした。

最初に与えられた式はa,bについて対称なので、仮にa≧bとすると（逆でも構いませんが）、添付した表の赤い＋の部分で９９通りです。
このa,bの組、それぞれについてa^2009+b^2009の値が別々に定まります。なおこの表ではa^2009+b^2009の値が、－は負の整数、0は0、+は2009桁以下の正の整数、++は2010桁以上の正の整数になることを示しています。

さらに、No.9の回答の最後の部分で一部式の左辺・右辺を逆に書いていました。重ねて失礼いたしました。

回答No.10

tmpname

えっと、最後の数え上げの作業ですが：

#7でも書いた通り（そして#8で補足して下さった通り）
a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009となるような
(a,b)と(x,y)は「合わせて1つ」と数える必要があります。
で、#7で書いた通り（そして#9でも確かめて下さった通り）
このような場合は「自明な場合」に限る事が分かった訳
ですが、これでやれやれではなくこの「自明な場合」を
合わせて1つと数える必要があるのを忘れてはいけません。

＊つまり例えば(a,b)=(2,3)の時と(a,b)=(3,2)の時は
　当然a^2009 + b^2009の値は同じになる訳ですが、
　この場合「合わせて1つ」と数える必要があります。

よって実際には：
＊例えばa,bが共に正の場合は実際には
　「1≦b≦a≦9かつa,bが共に整数」の場合だけ数えれば良くて、
　この場合45通りです。
その他の場合も、同様に「自明な重複分を除く」事を忘れずに
数え上げてみましょう。

あと、#8さんがせっかく補足して下さっているのでさらに
補足で、
例えば2009乗の所を2乗に変えてみると、例えば
7^2 + 4^2 = 8^2 + 1^2 (=65)
とかいう例が見つかったりします.

回答No.9

staratras

興味深い問題ですね。この問題を言い換えると、2009桁以下の正の整数で、すべての負でない整数を2009乗した整数2個の和または差として表される整数が何通りあるかということになりますが、10の2009乗が2010桁の最初（最小）の正の整数であることと、2整数の和と差の桁数が元の数の桁数とどのような関係にあるかを中心に考えてみました。（長文で恐縮です）

2整数の和の場合、m桁とn桁の整数（M,N)の和は、m≧n≧１とすると、m桁のままか、ひとつだけ繰り上がって(m+1)桁になるかのいずれかです。

2整数の差の場合（この問題のように負の数も含めた和の場合）、M≧N（m≧n≧１）とすると、m桁のままの場合のほか、NがMに近づくに連れてM-Nの桁数が下がって行き、最後は1桁（究極は0）までのすべての桁数を取り得ます。ただし3桁以上のある整数Mから別の整数Nを引いた際に、N<(9/10)Mであれば、2桁以上繰り下がることはなく、（M-N）はm桁のままか、ひとつだけ繰り下がって(m-1)桁になるかのいずれかです。Mをm桁の正の整数としますと（ただしm≧3）　M-(9/10)M≧10^(m-1)-(9/10)10^(m-1)=10^(m-2)>10^(m-2)-1　ここで右辺はm-2桁の最大の整数です。この問題では2009乗もするので、お隣り（最も近くて小さい）の整数の2009乗との比は極めて小さいため、2数が接近して2桁以上繰り下がることは起きない、つまり2011桁以上の数から出発して2009桁以下の数は作れないだろうと推測されます。

実際にやってみますと、((x^2009)/(x+1)^2009)=(x/(x+1))^2009=(1-(1/(x+1)))^2009 なので　ｘが大きくなるほどこの比の値は大きくなりますが
(10^2009)/(11^2009)=(10/11)^2009<(100/121)^1004<(100/144)^502<(100/207)^250<(1/2)^250<(1/16)^62=(1/256)^31<1/1000　より
2^2009から11^2009に至るまで、隣り（最も近い小さい整数の2009乗）との比がすべて1/1000以下である、すなわち桁数が3桁以上違うことがわかります。【１】
(対数を使って計算してみると実際は80桁以上違いますがあとの考察には3桁以上違うことが分かれば十分です）10^2009は2010桁の最小の整数なので、9^2009は2007桁以下の整数です。

1≦n≦11の整数nの範囲でn^2009は3桁以上離れた（桁数がとびとびの）11個の整数です。このうちの2数を組み合わせて和または差を作る場合、2数のうちの桁数の多いほう（厳密には2数が等しい時の和の場合も含めて桁数が少なくない方）の桁数をmとすれば、和、差の桁数は、m桁のままか、繰り上がり・繰り下がりがあった場合の(m±1)桁になるかのいずれかです。したがって2009桁以下の正の整数NについてN=a^2009+b^2009=x^2009+y^2009…（式１）のように2通り以上には分解できないことが以下の考察でわかります。

a,bのいずれか一方が0の時、9^2009は2007桁以下の整数なので、a,bは0でないほうが1から9までの整数値をとり得ますが、この場合x,yの片方が0で、x,yの0でない方がa,bのうち0でないほうと一致する自明な解しかあり得ません。なぜならば、【１】で示したようにn^2009型の整数の桁数は1≦n≦11の範囲で3桁以上異なるため、2数の和もしくは差で繰り上がり・繰り下がりがあっても高々1桁の変動しかないため、別の3桁以上異なるn^2009型の2整数の和や差の組み合わせの右辺では式１の左辺と桁数が一致しなくなるからです。

またa,bのどちらも0でないとき、a^2009とｂ^2009のうち正で桁数の少なくない方をm桁とすると式１の左辺はm桁のままか繰り上がり・繰り下がりでm±1桁になるかのいずれかです。この場合も【１】で明らかなように、m桁以外の別のn^2009型の整数の桁数は3桁以上異なるため、m桁またはm±1桁の整数をこの型の２整数の和または差で作るためには左辺のx^2009かy^2009のいずれかがm桁でなくてはならず、桁数が同じn^2009型の整数の値は等しいので右辺のa^2009,b^2009の少なくともいずれか一方と、左辺のx^2009かy^2009のいずれか一方が等しくなくてはなりません。 そしていずれか一方同士が等しければ、両辺の残りの項同士も等しくなります。

あとは数え上げ、ですが、a,bともに正のときには、9^2009が2007桁以下の数なので、1≦a≦9と1≦b≦9のすべての組み合わせで81通りです。
a,bの片方が0の時は、他方が1から9までの整数値で18通りです。
a,bの片方が負の時は、負の方は-１から-９までの整数値で、他方(正の方)の絶対値が負の方の絶対値を上回る組み合わせ(a=10またはb=10を含む）で90通りです。
合計189通りになると思います。

回答No.8

Tacosan

お, 確かに＞#7.

#7 で言っているのは
a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009
となる「自明でない」 a, b, x, y があれば「2組」と数えちゃいかんよ, ということです.

「自明」というのは「a=x, b=y」またはその逆, ということ.

で #7 では「自明なものしかない」と示しているので, 「a^2009+b^2009 という値」を数える代わりに「条件を満たす a と b の組」を数えていいですよ, としています.

同じような問題でも 2009 のところを一斉に 2 に変えると上のところがあやしくなりますね.

回答No.6

nag0720

a,bとも正の場合は、
9^2009+9^2009が２００９桁以下なら、1≦a,b≦9で成立することになる。
9^7=4782969＜5*10^6より、
9^2009+9^2009=2*9^2009=2*9^7*9^2002
＜2*5*10^6*9^2002=10^7*9^2002＜10^2009

aが正,bが負の場合は、
11^2009-10^2009が２００９桁を超えるなら、0＜-b＜a≦10で成立することになる。
11^2009-10^2009=(11-10)(11^2008+11^2007*10+11^2006*10^2+・・・・+10^2008)
＞11^2008=121^1004
＞1.2^1004*10^2008
＞1.4^502*10^2008
＞1.9^251*10^2008
＞3.6^125*10^2008
＞12^62*10^2008
＞10^2009

以上から、
a,bとも0または正の場合は99個
aが正bが負、または、aが負bが正の場合は90個
で合計189個じゃないかな。

回答No.5

tmpname

まず最初ですが
9^2009 = (9^56) * (9^(2009-56))
< (10^54) * (10^(2009-56))
= 10^(2009-2)
であって 9^2009は2007桁以下の数であって、
よって 2*(9^2009)は2008桁以下の数です。

次にb≦0≦aの時を考えるのですが、
a,bは整数を動くのですからb≧-(a-1)でないとすると
b≦-aですが、この時a^2009 + b^2009 ≦0ですよね？

回答No.4

Tacosan

どうして「aはいくらでも大きくできるのでないかと思」ったのでしょうか? 問題文をじっと読めば, そのようなことはないと分かりますよ.

あと, これをやろうとすると 9^2009 とか 11^2009 とかを考えなきゃならないんだけど, 「中学レベル」でどうしろというんだろう. ある程度数字の感覚があれば「9^2009 はど～にも 2009桁にはなりえない」とか「明らかに 11^2009 は 2009桁では収まらない」とかほぼ一瞬で分かるんだけど, 説明が大変.

蛇足: 「=<」には違和感がある. 「<=」の方が自然じゃないかなぁ.