整数問題

質問

a,bを整数とする。
a^2009+b^2009となる正の整数が２００９桁以下であるとき、
このような整数は何通りあるか。

正直どこをとっかかりにするとよいのか分からないが、
考えてみたのは、
(1)a,bがどちらも正の整数でa>=bのときを考える。
(2)(1)のとき、２００９桁以下だから、1=<a=<9が必要となる。
(3)1=<a=<9のそれぞれのaの値に対して、bの値を考えるが、２００９桁を超すのが
　bがどの値のときか、またはすべての1=<b=<9で２００９桁を超さないのか、判断できず。

上の場合分けだと、b=<0=<a のとき、を考えなければならないが、
このときは、aはいくらでも大きくできるのでないかと思い、この考え方はだめだと思った。

よろしくアドバイスお願いします。

回答No.7

tmpname · ベストアンサー

と後はa^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009
となる場合はどのようなものがあるかを調べる必要が
ありますが、
（但しa,b,x,yは共に整数で両辺共に正）
[かぶっている整数は合わせて1つと数える必要がある]

この場合a,b,x,yの中で絶対値が最も大であるもの
（の1つが）yであったとして

y^2009 = a^2009 + b^2009 - x^2009
よって|y|^2009 ≦ |a|^2009 + |b|^2009 + |x|^2009
でいまa,b,xの絶対値の中で最も大であるものをmとすると
|y|^2009 ≦ 3*(m^2009)ですが、
今|y|> mとすると、|y|≧m+1であって、明らかにm≠0ですが、

|y|^2009 - 3*(m^2009)
≧ (m+1)^2009 - 3*(m^2009)
= (m^2009) * ((1+1/m)^2009 - 3)
≧ 1 * (1.1^2009 - 3)　(m ≦ 10)
> 0となっておかしいのでm=|y|, すなわち
a,b,xの内何れか一つは絶対値がyと等しい必要がある。これから
a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009 となるのは
「自明な場合」だけであることが分かるでしょう。

あとは数え上げるだけです。

お礼

回答ありがとうございます
［かぶっている整数は合わせて1つと数える必要がある]
というのは、もし、a^2009 + b^2009 = x^2009 + y^2009
となったらa=x,b=yであるということなのでしょうか。
難しい・・・・

回答No.3

tmpname

何か冒頭日本語として変な文章をうってしまいました。

回答No.2

tmpname

まだ全然考えてませんが、取り敢えずあなたの質問に
事だけを考えると：

(3)
1≦a≦9のそれぞれのaの値に対して、bの値を考えるが、
2009桁を超すのがbがどの値のときか、またはすべての
1≦b≦9で2009桁を超さないのか

まあrubyで計算させるとa=b=9のときa^2009+b^2009の
値は1918桁の数というのが一瞬で分かりますが：
9^2 = 81で、もう少し計算すると
9^4 < 66 * 10^2
9^6 < 44 * 10^4
9^8 < 44 * 10^6 < (1/2) * 10^8
であるから
9^56 < ((1/2)^7) * 10^56 < 10*54
つまり9^56は既に54桁以下の数で、これよりa=b=9の時
a^2009+b^2009が2009桁を越えることはありえない
事がわかります

(4)
b≦0≦a のとき、を考えなければならないが、
このときは、aはいくらでも大きくできるのでないかと思い

そんなことは無くて、明らかにb≧-(a-1)です。
f(x)=x^2009とするとf'(x)=2009*(x^2008)で、
平均値の定理からあるa-1 < c < aがあって
a^2009 + b^2009
≧ a^2009 - (a-1)^2009
= 2009 * (c^2008)
> 2009 * ((a-1)^2008)
であるからこの場合a≦10です。

お礼

回答ありがとうございます
「9^56は既に54桁以下の数で、これよりa=b=9の時
a^2009+b^2009が2009桁を越えることはありえない」
「aはいくらでも大きくできるのでないかと思い

そんなことは無くて、明らかにb≧-(a-1)です。」
この２点についてどうしてか考えています。

回答No.1

Tacosan

負の値を許しても, 問題としては破たんしません.

a, b ともに負では困るので少なくとも一方は正. で
(1) 両方とも非負
(2) 一方が正で他方は負
と場合わけすることになると思う.

対数を使っていいならさほど問題にはならない.

お礼

回答ありがとうございます
レベルとしては、中学の範囲での問題です