複素数平面の問題

質問

複素数平面の原点をＰ0とし、Ｐ0から実軸の正方向に1進んだ点をＰ1とする。以下、点Ｐn(ｎ=1,2,・・・)に到着した後、45度回転してから前回進んだ距離の1/√2倍進んで到着する点をＰｎ+1とする。このとき点Ｐ10を表す複素数を求めよ
※Ｐのあとの数字は小さな数字です。

という問題なのですが、どうやって解いたらよいのかよくわかりません。
答えは33/32+31/32iです
よろしくお願いします。

回答No.2

2718281828 · ベストアンサー

#1さんの考え方そのままで良いと思いますが、指数函数表示を使います。
虚数単位はjを使います。

角度π/4変えて√2進むというのは、exp(jπ/4)/√2（以下、aと表記）を加えることだというのは了解していただけますか？p_2では、1のa倍を加え、p_3では1のa倍のa倍（=a^2）を加えます。つまり、

p_1 = 1
p_2 = p_1 + a
p_3 = p_2 + a^2 = p_1 + a + a^2 = 1 + a + a^2
…
p_{n+1} = p_n + a^n = Σa^n （i=0 to n）

後は、等比級数の和を求めるだけです。

p_10 = (1 - a^10)/(1 - a)

分母は、 (1-a) = exp(-jπ/4)/√2
分子は、 (1-a^10) = 1 - exp(jπ/2)/32
と、なります（分母は一旦 x + jy の形で計算してから指数函数に書き直します）。

これによって、

p_10 = √2exp(jπ/4) - √2exp(j(3/4)π)/32
= (1 + j ) - ( -1 + j)/32
= (32 + 1 + j32 - j)/32
= 33/32 + j31/32

です。

お礼

ありがとうございました！

等比数列を使うんですね！
参考にさせていただきます！

回答No.1

uyama33

p1=1+0i

p2=(1/√2)(cos45+isin45)(1+oi)
＋（１＋oi)

p3={(1/√2)(cos45+isin45)}^2(1+oi)
＋{(1/√2)(cos45+isin45)}(1+oi)
＋（１＋oi)

p4={(1/√2)(cos45+isin45)}^3(1+oi)
＋{(1/√2)(cos45+isin45)}^2(1+oi)
＋{(1/√2)(cos45+isin45)}(1+oi)
＋（１＋oi)

これを、ｐ10　までやる。
ただし、規則性を見つければ計算は簡単になる。

お礼

参考にさせていただきます。

ありがとうございました。