微分積分がわかりません

質問

(1)不定積分∫（3x^2＋x）/(x^3+x^2+x+1) dx
(2)定積分 ∫0→π sin^3xcos^2x dx
(3)重積分 ∬(x+y)dxdy D={(x,y)|y^2≦x≦y}
わかりません。わかる方、教えてください。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

(1)
まずは被積分関数をやっつけます．分母を因数分解すると
(x + 1)(x^2 + 1)
となるので，

(3x^2 + x)/(x^3 + x^2 + x + 1)
= (Px + Q)(x^2 + 1) + R/(x + 1)

とおいて，P，Q，Rの値を決定します(部分分数分解)．
通分して係数を比較すると，
P = 2，Q = -1，R = 1
なので，被積分関数は

(3x^2 + x)/(x^3 + x^2 + x + 1)
= (2x - 1)(x^2 + 1) + 1/(x + 1)
= 2x/(x^2 + 1) - 1/(x^2 + 1) + 1/(x + 1).

あとは，各項に公式を用いるだけです：

∫(3x^2 + x)/(x^3 + x^2 + x + 1) dx
= ∫2x/(x^2 + 1) dx - ∫1/(x^2 + 1) dx + ∫1/(x + 1) dx
= log|x^2 + 1| - arctan x + log|x + 1| + C
= log(x^2 + 1) + log|x + 1| - arctan x + C. (∵x^2 + 1 > 0)

(2)
sin^3 x・cos^2 x
= sin x・sin^2 x・cos^2 x
= sin x・(1 - cos^2 x)cos^2 x.

したがって，
t = cos x
と置くと，
dt = -sin x dx
であり，

∫[0,π] sin^3 x・cos^2 x dx
= ∫[0,π] sin x・(1 - cos^2 x)cos^2 x dx
= -∫[1,-1] (1 - t^2)t^2 dt.
= ∫[-1,1] (1 - t^2)t^2 dt
= 2∫[0,1] (1 - t^2)t^2 dt (∵被積分関数は偶関数)
= 2∫[0,1] (t^2 - t^4) dt
= 2[t^3/3 - t^5/5]_0^1
= 2(1/3 - 1/5)
= 4/15.

(3)
逐次積分すればいいんじゃないでしょうか．
積分領域がxの範囲を示す式で与えられているので，先にx，次にyという順序で積分します．
積分領域は添付図のようになるので，

∫∫_D (x + y) dx dy
= ∫[0,1]dy∫[y^2,y]dx (x + y)
= ∫[0,1]dy [x^2/2 + yx]_(x = y^2)^(x = y)
= ∫[0,1]dy (y^2/2 + y^2 - y^4/2 - y^3)
= ∫[0,1]dy ((3/2)y^2 - y^4/2 - y^3)
= [(1/2)y^3 - (1/10)y^5 - y^4/4]_0^1
= 1/2 - 1/10 - 1/4
= 3/20.

回答No.2

noname#133363

(1) 被積分関数を
(3x^2+2x+1)/(x^3+x^2+x+1) - (x+1)/(x^3+x^2+x+1)
みたいにして2項目は約分。
くらいしか思いつかない。

(2) こういう関数の積分、よく見る問題の気がするけど、問題集に答え載ってません?

(3) これも別になぁ…。
xについて[y^2, y]上で積分、yについてy^2≦yを満たす区間上で積分。