以下の積分の問題なのですがどのように考えれば良いのか分からず困っていま

質問

以下の積分の問題なのですがどのように考えれば良いのか分からず困っています。

(1)∫dx∫sin(πy^2)dy D:｛0≦x≦1　x≦y≦1｝
(2)∬[D] 1/(1+x^2+y^2)^a dxdy D:｛x≧0　y≧0｝(a>0)

どちらか一つだけでも結構です。
どなたかご教授お願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)まず積分領域をxy座標平面にお描きください。
その領域を隈なく逐次積分するには、x,yのどちらを先に積分したら積分しやすいかを考えて下さい。
そうすれば　先にxで積分し、その後yで積分すればよいことが分かります。
その場合、積分領域を隈なく積分するように積分変数の範囲を決定してやればいいでしょう。
∫dx∫sin(πy^2)dy
=∫[0,1] sin(πy^2){∫[0,y] 1 dx} dy
=∫[0,1] sin(πy^2)*y dy
={1/(2π)}∫[0,1] (πy^2)'*sin(πy^2) dy
={1/(2π)}[-cos(πy^2)] [y:0,1]
={1/(2π)}{1-cos(π)}
後は cos(π)=-1　とすればできますね。

(2)この場合は積分領域はxy平面の第一象限ですね。
この場合は極座標に変数変換をした方が積分し易いですね。

x=r*cos(t),y=r*sin(t)とおくと、dxdy=rdrdt
x^2+y^2=r^2, 積分領域D':{0≦r＜∞、0≦t≦2π}
となるので
I=∬[D] 1/(1+x^2+y^2)^a dxdy=∫[0,2π]dt∫[0,∞]rdr/(1+r^2)^a dr

a=1の時
I=2π∫[0,∞]rdr/(1+r^2) dr=π∫[0,∞](r^2)'*1/(1+r^2) dr
=π[log(1+r^2)] [r:0,∞]　→発散（∞）

0<a,a≠1の時
I=2π∫[0,∞]rdr/(1+r^2)^a dr=π∫[0,∞](r^2)'*(1+r^2)^(-a) dr
=π[((1+r^2)^(1-a))/(1-a)] [r:0,∞]
a>1の時
I=π/(a-1)
0<a<1の時
I　→発散(∞)

後は以上を　aで場合分けしてまとめると良い。

お礼

とても丁寧な解説ありがとうございます。(2)は極座標に変換すればよかったのですね！
参考になりました。

回答No.3

noname#29493

ごめん(1)最後の所で計算ミス。
答えは1/π。
引き続き(2)考えておきます

回答No.2

noname#29493

(1)はDの領域に着目して考えると、Dというのはいいかえると
D:{0≦y≦1,0≦x≦y}というようにできるね。これはDの領域を書いてみればすぐにわかる。
そうすると∫dx∫sin(πy^2)dy＝∫dy∫sin(πy^2)dx
＝ ∫ysin(πy^2)dy
＝[-1/2πcos(πy^2)](0≦y≦1)
＝π・・・(答)
(2)はもう少し自分でもやってみる。今すぐにはちょっと難しい

お礼

積分の順序を入れ替えればよかったのですね！とても参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

変数変換したり積分順序を入れ替えたりしちゃダメ?

お礼

参考になりました。ご回答ありがとうございます。