デルタ関数の微分は？

質問

デルタ関数を微分した場合、どのような数式で表現されるのでしょうか？

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

デルタ関数の微分表記はkeyguyさんが書かれている通りで付け加えるならばδ'(x)＝－δ’(-x)でしょうか。
δ関数を微分するにはδ関数をFourie変換
　　δ(x)＝(1/2Π)∫[-∞,+∞]exp(ik・x)dk
してから微分するというやり方もありますが、δ関数の微分を次のように定義することもできます。
＜定義＞
任意の関数g(x)について積分区間(a,b)内にｙが含まれるとき、次式が成り立ちます。
∫[a,b]g(x)δ(x-y)dx＝g(y)　　(1)
これをｙについて微分すれば
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx＝dg(y)/dy　　(2)
ここで寄り道して、z＝x-yの関数f(z)を考えますと
∂f/∂x＝(∂z/∂x)(df(z)/dz)＝df(z)/dz　　(3)
∂f/∂y＝(∂z/∂y)(df(z)/dz)＝－df(z)/dz　　(4)
となりますね。(3)(4)の結果を使うと(2)の左辺は
∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂y}dx＝－∫[a,b]{∂δ(x-y)/∂x}dx　(5)
となります。ここで　x→x-y　と積分変数を変換すると
d(x+y)＝dxより
「δ(x)の微分とは、任意の関数g(x)と(a,b)内のyについて
dg(y)/dy＝－∫[a,b]g(x+y)(dδ(x)/dx)dxとなるもの」
というように定義することができます。注意すべきはa=-∞、b=+∞の場合であれば無視しても構わないですが、厳密には変数変換により積分区間がずれることに注意が必要です。以上の展開は嘗て小生がμさん（http://favorite.jp/）に教えていただいたものの受け売りです(笑い)。
（P.S）
δ関数の微分を具体的にどのようなシーンで使われるのか分かりませんが、例えば荷電粒子の連続の方程式を計算する場合などにはでてきます。その際の具体的計算は
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Chap2-1-2.htm
に載っています。ご参考まで。

回答No.5

grothendieck

佐藤超関数立場からいえば、
　2iπδ(x) = 1/(x - iε) - 1/(x + iε)
の両辺を微分して
　2iπd^nδ(x)/dx^n
= (-1)^n・n!(1/(x - iε)^(n+1) - 1/(x + iε)^(n+1))
となります

回答No.4

KENZOU

grothendieckさんが書かれているとおりデルタ関数の微分の公式として
∫[-∞,+∞]f(x)(d^n/dx^nδ(x))dx＝(-1)^n(d^n/dx^nf(0))
があります。これは部分積分の繰り返しで証明されます。ご参考まで。

回答No.3

grothendieck

わたしはデルタ関数の微分はg(x)を急減少関数とするとき、部分積分を使って
　∫g(x)δ'(x)dx = - ∫g'(x)δ(x)dx
　　　　　　　　 = - g'(0)
と定義すると思っていました。(g(x)は急減少関数なので端点でのg(x)は消える)

回答No.1

keyguy

δ’（ｔ）やｄ（δ（ｔ））／ｄｔです。
δ関数の微分はラプラス変換などで重要です。

補足

有難うございます。その辺はわかります。微分した後の数式を知りたいです。