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微分可能でない関数
微分可能でない関数について学習しているのですが、 例えば連続関数であり、かつ1点で微分可能でない関数はf(x)=|x|などが自分で考え付くことが出来たのですが、 では任意の点の有限個の点の集合、可算個の点を含む適当な集合上で微分不可能な連続関数はどのような構成が考えられますでしょうか？ 宜しくお願い致します。
- dio_ti_ama
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いくらでもできますが、例を挙げてみましょう。 f(x)=|x|+|x-1|+|x-3|といった関数はどうでしょう？
その他の回答 (2)
連続関数で,可算個の点で微分不可能な関数は,存在します. ワイエルシュトラース(K.Weierstrass)が提示した次の関数f(x)がそうです. f(x)=Σ[n=0,∞](a^n)・cos(b^n・x) 0 < a < 1, bは奇数で,ab>(3/2)・π + 1 注:^はべきをあらわす. この関数は,(－∞,∞)で連続で,至る所(可算個の点で)微分不可能です. 詳しくは,岩波書店:数学辞典の微分法のの項を参照して下さい.文献が調べられます. また,不連続関数については,Baire関数も参考になると思います.
お礼
ご回答を頂いたのも関わらず、お礼を申し上げるのが遅くなってしまい申し訳ございませんでした。 回答のほかに参考文献まで教えていただきありがとうございました。 是非とも参考にさせていただきます。 ありがとうございました。
- Meowth
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任意の点の有限個の点の集合、可算個の点を含む適当な集合上 って意味不明 関数は実数で定義されてるんでしょうね。 有限個の点の集合の関数だったらいたるところ微分不可能でしょう。 実数で定義された関数で 有限、を可算個の点で微分不可能って意味か？
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お礼
ご回答をいただいたにもかかわらず、お礼を申し上げるのが遅くなってしまい申し訳ございませんでした。。 なるほど、確かに記していただいた例のようにいくつでも作ることが出来ますね。 ありがとうございました。