弓を想像して、その弓の半径を出す計算式を教えて下さい。

質問

まず弓を引かずに、空に向けて矢を射る形を想像して頂くといいのですが、

仮に弓の部分の長さ（弧Ｌ）を２メートル，弓の糸（弦）の長さ（Ｇ）として、円の中心（Ｏ）を通る垂直線を引き、得られる弓の糸（弦）の交点（Ｂ）から弧と垂直線の交点（Ａ）までの長さ（Ｍ）を０．３メートルだとした時の半径が知りたいのですが、この問題で２２年間悩んでいます（＾＾；）。

分かっている数値
　弧の長さ（Ｌ）　　　　　　２メートル
　弧の頂点までの長さ（Ｍ）　０．３メートル
　弦の長さ（Ｇ）　　　　　　？？
　半径（Ｒ）　　　　　　　　？？
　円の中心（Ｏ）　　　　　　Ｘ＝０，Ｙ＝０

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.5

iro_han

複雑な方程式は不要です。
GとMが必要なので、Gの測定をしてください。
弓の半径R=G^2/2Mです。
たとえばExcelで、A1にGを、A2にMをそれぞれ入力し、R（結果）をA3に出したいときの式は
=(A1^2)/(2*A2)
になります。

この式は、FIS（国際スキー連盟）が、競技用スキーのレギュレーション確認する際、スキーのサイドカーブラディウスを計算する為に使用する式の応用なので、間違いないと思います。
ただし、スキーのサイドカーブと同様に、弓が描く弧は、正円の一部とはいえないと思いますので、「概ねこの程度」と言ったレベルです。

回答No.4

liar_adan

円弧の半径を出すだけならGはいりません。

弓の、半分だけを使います。その方が簡単なので。
弓の長さの半分はL/2。
すると、中心角θは、ラジアンの単位でL/2Rと出ます。
(弓の半分の角度です。弓全体の角度ではその2倍になります)

中心から弦への距離は、R・cosθとなります。
三角関数を説明する図形を思い浮かべてもらえればいいと思います。
弦の中点から弓への距離がMなので、
M ＝ R - R・cosθ
＝ R（1 - cosθ）
となります。
ぜんぶ展開すると

M ＝ R（1 - cos(L/2R)）

問題の数値をあてはめると、

0.3 ＝ R（1 - cos(1.0/R)）

となります。この方程式を解けば半径Rが出ます。

出るんですけども、これは、初等的に解くのはちょっと無理じゃないかと思います。
(すっきりした数値は出ないという意味です。)
数値計算ソフトを使えば、任意精度で出せますが…。

十中八九、すっきりした答えは出ないとおもいますが、
絶対の自信はないので、解析に詳しい人の回答を待ちます。

回答No.3

noname#148473

円の半径をｒ、弧の中心角をθとします。

弧の長さを半径と中心角で表す
２πｒ×（θ／３６０）＝２　・・・（１）

円の中心、弧の末端、垂直二等分線と弦の交点の３点を頂点とする直角三角形について
cos（θ／２）＝（ｒ－０．３）／ｒ　・・・（２）

（１）をｒについての式に変形すると
ｒ＝３６０／πθ　・・・（３）

（３）を（２）に代入して整理すると
cos（θ／２）＝（３６０－０．３πθ）／３６０　・・・（４）

おそらく計算で出せるのはここまでです。
以下はExcelを使って出した結果ですが、

θ＝７１°（誤差±０．００５°未満）
ｒ＝1.61396562

となりました。弦の長さは

Ｇ^2＝ｒ^2－（ｒ－０．３）^2

ですから、

Ｇ＝0.937218956

となります。
ひょっとしたら、計算で答えを導き出す方法があるかもしれませんが、私には分かりませんでした（高校で数学を教えてる知人に確認したので、多分間違いないと思いますが）

回答No.2

graphaffine

確認ですが、弓の曲線部が円の弧になると言う根拠はありますか。

要するに、この質問は弓と言う言葉に拘らず
単に円弧が与えられたときの問題と捉えて良いのですよね。

補足

はい 円弧としてです。
舌足らずですみません。

回答No.1

shige_70

弧の角度(弧の両端をP,Qとしたとき∠POQ)をθとしますと、

　　Rθ=L
　　2Rsin(θ/2)=G
　　Gsin(θ/4)=2M

という3つの式がでますね。
未知数が3つ(R,G,θ)で連立方程式3つですから解けますよね。

補足

連立方程式ですが、数学が大の苦手なのです。
実はＭの値を変化させたときの半径を計算したいのです。
弧の長さは一定です。
宜しくお願いしますｍ（＿＿）ｍ。