- 締切済み
大学数学
関数ｆ（ｘ、ｙ）は点（ａ、ｂ）の近傍でＣ＾１級とする。 ２点（ｘ、ｙ）、（ａ、ｂ）を結ぶ線分上に点（ξ、η）が存在して ｆ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ａ、ｂ）＋ｆx（ξ、η）・（ｘ－ａ）＋ｆｙ（ξ、η）・（ｙ－ｂ） となることを証明せよ。（ｆｘ、ｆｙは１次偏微係数） 上の問題がわからずお手上げの状態です。 どのように解くのでしょうか。
- nakataka678
- お礼率0% (0/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- ヘッセの定理について
次の二つの問いについて疑問があります。 1. 関数f(x,y)=(x+y)^2+x^4+y^4が原点で極小になることを示せ。 2. 次の関数の極値を求めよ。また、求めた極地が極小値であることを示せ。 ｚ＝f(x,y)=x^2-3xy+2y^2-5x+2y 1.ですが、ヘッシャンを求めると0で、fの二階偏微分係数は正です。 そこでヘッセの定理から極小だと答えたところ、「近傍調査をせよ」と書かれました。 わからないのは、ヘッセの定理の証明で、 (a,b)が停留点の時、f(a+k,b+h)-f(a,b)の値から極地の種類を割り出す際に、ヘッシャンが0であればkとhの比によっては必ず差が0になってしまうのでは？という事です。 しかし、グラフソフトを使って上の関数を描写すると、確かに原点で極小になっていました。 いったい近傍調査とはどのように行うのか、また、ヘッシャンが0にもかかわらず極値をとる訳を教えてもらえませんか? 2.ですが、私の計算ではヘッシャンは負になるとなったのですが（xでの二階偏微分係数は2、x,y一階ずつの偏微分係数は（-3）、yでの二階偏微分係数は4でヘッシャンは（-1））これは極値を取らないという事になってしまうのではないでしょうか？問題が間違っているとは思えないのですが… これも教えていただけるとありがたいです。 以上の二つについてよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 極値判定条件
２変数関数ｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)が点Ｐ(ａ,ｂ)の近傍で２回偏微分可能で その第二次偏導関数がすべて連続とする。さらにｆ(ａ,ｂ)をｘで偏微分したものとｆ(ａ,ｂ)をｙで偏微分したものがともに０であるとする。 Ａをｆ(ａ,ｂ)をｘで２回偏微分したもの Ｈをｆ(ａ,ｂ)をｘとｙで偏微分したもの Ｂをｆ(ａ,ｂ)をｙで２回偏微分したもの Δ＝Ｈ~2ーＡＢ とおくとき １）Δ＜０かつＡ＞０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極小値 ２）Δ＜０かつＡ＜０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極大値 ３）Δ＞０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極値をもたない ということを教わりました。何か１次変数２次関数の判別式と似ているなぁという感じで覚えることはできるのですが、理論・導出過程がわかりません。 もし分かる方がいらしたらお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 質問 大学 数学 条件付きの極値
0≦x≦3、-3≦y≦0のとき、関数f(x,y)＝(x + y^2 +2y)e^2x の最大値、最小値を求めよ。 という問題の解説をお願いします。 最大値、最小値なので、 まずfx、fyを求めて極値になる停留点の候補を探すのは大丈夫なのですが、 境界線上の点の求め方があいまいなのでお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 質問 大学 数学 条件付きの極値
0≦x≦3、-3≦y≦0のとき、関数f(x,y)＝(x + y^2 +2z)e^2 の最大値、最小値を求めよ。 という問題で解説をお願いします。 最大値、最小値なので、 まずfx、fyを求めて極値になる内部？の停留点を探すのは大丈夫なのですが、 境界線上の点の求め方があいまいなのでお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 陰関数の定理がわかりません
陰関数の定理について、 証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、 読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。 この定理が何をいおうとしているかわかり易く 説明していただけないでしょうか？ (漠然とした質問で申し訳ありません） _______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 陰関数の定理： f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし， 点(a, b) において f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする． このときa を含むある小さな開区間I をとれば I の上で定義されたC1 級関数 y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する: b = φ(a), f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内), さらに φ’(x) = -｛fx(x, φ(x))｝/｛fy(x, φ(x)｝ が成立する． _____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開と関数値の求め方
２変数関数f(x,y)があり、閉区間[a-b]×[c-d]で定義されているとします。 関数は区間内の少なくとも１点でテイラー展開可能であり、関数値はそれに一致します。 点(a,c)での極限値 lim[x→a]f(x,c) lim[y→c]f(a,y) や、偏微分係数 lim[x→a]fy(x,c) lim[y→c]fx(a,y) … が与えられていれば、関数値f(a,c)が求められると予想したのですが、どう考えればいいですか？ なお、これ以外の条件が必要なら、付けて構いません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題の解答を教えてください。
3次関数F(x)=ax³+bx²+cx+dが次の条件(A),(B)を満たしている。 (A) 関数y=F(x)のグラフは点(2.4)を通り、この点における接線の傾きは5である。 (B) 関数y=F(x)はx=1で極小値2をとる。 (1) 係数a,b,c,dを求めよ。 (2) 関数F(x)の最大値を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 全微分可能性の問題です。(再考しました)
回答者の皆様にはいつもお世話になります。 以下の全微分の問題ですが、全微分可能性の厳密な理解が私自身できていない気がします。 お知恵をお貸しください。 問題：f(x,y)が点(a,b)で全微分可能である事の定義を示し、それを利用してf(x,y)=√(1-x^2-y^2)の原点での微分可能性を証明せよ。 f(x,y)がxとyについて偏微分可能である。(fx,fyと表現します) f(x,y)を点(a,b)の周りで一次近似する最良の平面はf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)であり、その誤差εはf(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}となる。 (x,y)→(a,b)の時、この誤差εがベクトル((x-a),(y-b))の絶対値√((x-a)^2＋(y-b)^2)より先に0になれば微分可能なので、lim[(x,y)→(a,b)] [f(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}] / √((x-a)^2＋(y-b)^2)=0がf(x,y)の点(a,b)における全微分可能の定義となる。 f(x,y)=√(1-x^2-y^2)のとき、f(0,0)=1 fx(x,y)=-2x・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fx(0,0)=0 fy(x,y)=-2y・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fy(0,0)=0 ∴ε=√(1-x^2-y^2)-1-{0・(x-0)＋0・(y-0)}=√(1-x^2-y^2)-1 又ベクトル(x-0,y-0)の絶対値は√(x^2+y^2) 以上より、lim[(x,y)→(0,0)] {√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=0の時、全微分可能 極座標で考えると、(x,y)→(0,0)の時、r→0であり、x=r・cosθ,y=r・sinθ、 代入してlim[ｒ→0] {√(1-r^2)-1}/r、分子を有理化して、 lim[ｒ→0] -r^2/{r√(1-r^2)+1}=lim[ｒ→0] -r/{√(1-r^2)+1}=-0/2=0 つまり全微分可能である。 というアプローチで如何でしょうか？ ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 全微分の問題が解けなくて困っています
全微分の問題です。解けなくて困っています。 f(x,y)=|xy|について次を証明せよ （１）ｘｙが０でないとき、fx(0,y),fy(x,0)はいずれも存在しない。 （２）点(0,0)での偏微分係数はいずれも存在し、f(x,y)は(0,0)で全微分可能である。 よろしくお願いしますｍ（－－）ｍ
- ベストアンサー
- 数学・算数
