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格子点の個数について
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- drmuraberg
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中学生さんですか!! ∫y(x)dx は積分記号で、積分範囲α~βと言った時には 曲線y(x)とx軸の区間[α、β] で囲まれる部分の面積を表します。 S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx 積分範囲はα~βは 区間[α、β]での直線 y = ax + b の下の面積と、曲線 ax^2 (2乗)の 下の面積の差をあらわします。つまり囲まれた部分の面積を表しています。 αとβは (ax+b) – ax^2 = 0 を x^2 – x – b/a = 0 と書き換えて 二次方程式の根の公式より x = (1∓ √(1-4b/a)) つまり、区間[α、β] は α = {1 + √(1-4b/a)}/2 β = {1 - √(1-4b/a)}/2 となります。 1)直線 y = ax + b の区間[α、β]での台形の面積S1=∫(ax+b) dx は yα= a(1 + √C)/2 + b, yβ= a(1 - √C)/2 + b ただしC=1-4b/a yの平均は y=(yα+ yβ)/2= (a+2b)/2 αとβの距離はα―β=√C 台形の面積S1は S1=(a+2b) √C /2 2) 曲線 y = ax^2 の区間[α、β]での面積S2=∫ax^2 dx 積分の公式を使う y=a の積分 y=ax 区間[α、β]での面積 a(α-β) y=ax の積分 y=ax^2/2 区間[α、β]での面積 a(α^2-β^2)/2 y=ax^2 の積分 y=ax^3/3 区間[α、β]での面積 a(α^3-β^3)/3 S2= a{((1+√C)/2)^3 - ((1-√C)/2)^3}/3 = {√C(a-b)}/3 囲まれた部分の面積S=S1-S2は S={√C(a+8b)}/6 = √(1-4b/a)* (a+8b)/6 検算はしていませんので、最後の式が正しいかはチェックしてください。 積分の公式の面積との関係を方眼紙上で確かめて見てください。 積分(と微分)は高校で習います。 方眼紙のメモリの隣り合う交点の間隔をγとすると s=γ^2 となります。 したがって格子点の数Nは N ≒ {√(1-4b/a)* (a+8b)/6} /γ^2 となります。
- drmuraberg
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方眼紙に y=ax^2 と y=ax+b のグラフを書いた時に、この曲線と直線で 囲まれる面積の中に有る方眼紙のx軸とy軸の交点の数と考えれば良いと思います。 囲まれる面積をSとすると、a>0 の時 S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx 積分範囲はα~β、 ここにα、βは (ax+b) – ax^2 = 0 の2つの解です。 1つの格子点の占める面積をs(方眼紙の交点の間隔から計算できる)とすれば、 格子点の数Nは N ≒ S/s で与えられます。S>>sならば十分良い近似となります。 この考え方は3次元の場合にも適用できます。
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補足
S = ∫{(ax+b) – ax^2}dx ↑ ごめんなさい 中学3年の馬鹿でよく分かりません;;