ピタゴラス数に対してトレミー数(造語)を考える

質問

ピタゴラスの定理を満たす自然数、つまり、整数辺の直角三角形の3辺は、ピタゴラス数と呼ばれます。

それは、整数辺長方形で対角線も整数のものを考えることと同じです。

ところで、整数辺四角形で、対角線も整数になるものは、存在はするようです。
http://mathworld.wolfram.com/RationalQuadrilateral.html
しかし、一般解がどうなるのかは知りません。(これも知っている方がいれば教えてください)

すると、気になるのは、円に内接する整数辺四角形で、対角線も整数になるものは、存在するのでしょうか？ただし、整数辺の直角三角形の斜辺を張り合わせてできる四角形は、自明なので除くものとします。

代数的に言いかえると、平面上の４点間の6種類の距離は、六斜術とかCayley–Menger determinants（必要であれば検索してください）という関係式を満たすのですが、
さらにトレミーの定理の関係式を満たすような6つの自然数の組は存在するのでしょうか?

回答No.1

htms42 · ベストアンサー

等脚台形でもよければ２つの対角線の長さが等しいですからチェックが簡単になります。
６０°の場合は計算が簡単です。
たくさんあります。
（上辺、下辺、左右の辺、対角線）
（３，８，５、７）
（５，８，３，７）
（５，２１，１６，１９）
（１６，２１，５，１９）
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６０°の三角形　　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－ｂｃ
１２０°の三角形　ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2＋ｂｃ
ａを共通にして２つの三角形をくっつけます。
四辺形が２つ出来ます。１つは等脚台形です。
等脚台形でない方の四辺形については、ａではない方の対角線が整数になっているかどうかのチェックが難しいです。（「六斜術」に載っている式に一番簡単な（３，８，５，７）を当てはめた場合でも計算が大変です。やろうという気にはなれません。やってみてください。）

ｂ＝２ｍ＋１として奇数で変化させていきます。
ａ＝３ｍ(ｍ＋１)＋１は解の一つです。そのａに対して
６０°の場合、ｃ＝ａ＋(ｍ＋１)
１２０°の場合、ｃ＝ａ－(ｍ－１)
になります。
(ａ，ｂ，ｃ)がであれば（ａ，ｂ，ｂ－ｃ）（ｂ＞ｃの時）、（ａ，ｃ－ｂ、ｃ)（ｃ＞ｂの時）も解ですから２つの等脚台形を作ることができます。

http://okwave.jp/qa/q6439403.html