対称移動と回転の合成のイメージでの理解
- 平面上の一次変換を考えます。対称移動と回転の合成のイメージについて説明します。
- 対称移動と回転の合成は、(原点中心で角αの回転)*(x軸に関する対称移動)*(原点中心で角-αの回転)という順番で行われます。
- また、(y=xtanαに関する対称移動)は、(原点中心で角2αの回転)*(x軸に関する対称移動)という順番で行われます。
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対称移動と回転の合成のイメージでの理解
平面上の一次変換を考えます。 (y=xtanαに関する対称移動)は、 (原点中心で角αの回転)*(x軸に関する対称移動)*(原点中心で角-αの回転) という合成になります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。 これは、式を書かなくても、イメージで十分納得できます。 また、(y=xtanαに関する対称移動)は、 (原点中心で角2αの回転)*(x軸に関する対称移動) という合成にもなります。ただし、点には、右にある変換から順に作用させるとします。 しかし、これは行列の積の式では理解できるのですが、どうしてもイメージできないのです。 x軸に関する対称移動して、原点中心で角2αの回転すれば、y=xtanαに関する対称移動になる理由を、式を用いないで教えていただけないでしょうか。
- qqqqqhf
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- momordica
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x軸に関して対称移動したものと、y=xtanαに関して対称移動したものは どちらも原点を動かさずにもとの平面を「裏返し」にしたものですから、 原点を中心に適当な角度だけ回転移動すれば、互いに重ねることができます。 そのことは直感的に納得できますか? もしそれができるなら、後は、x軸に関して対称移動した後、どれだけ 回転させれば重なるかを考えるだけです。 y=xtanαは、y=xtanαに関する対称移動では当然それ自身に移りますが、 x軸に関する対称移動ではy=-xtanαに移っていますから、これをもとの y=xtanαと(向きが逆にならないように)重なるところまで回せばOKです。 y=xtanαとx軸、x軸とy=-xtanαのなす角はそれぞれαですから、合計2αだけ 回転させればいいということになります。
お礼
まことにありがとうございます。 一次変換は、ベクトル(0,1)とベクトル(1,0)の移動先が分かれば一意的に決まるということを用いてイメージするのですね。 すると、原点を通る直線に関する対称移動、原点を中心とする回転移動を、どれだけ合成しても、ベクトル(0,1)とベクトル(1,0)の移動先を調べれば、どのような一次変換になるかがすぐに分かるということですね。
補足
ありがとうございます。 今回の質問の場合には、一次独立な二つのベクトル(1,0)と(cosα,sinα)の移動先が同じであることをイメージすればよいのですね。
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お礼
まことにありがとうございます。 たいへんよく理解できました。 似たような図も調べてみました。 http://mixedmoss.com/NonEuclidianGeometry/PoincareModel/chapter5(isometric_atom)/rotation_on_E.html