画像の回転の問題です。

質問

画像の回転の問題です。
添付の問題文と回答が違うような気がしてなりません。

この問題の回答は”ウ”で回答の解説が
”複数の変換の組み合わせは、それぞれの変換を表す行列の積として考えることができます。
式(5)からＢによって最初にX軸方向へ１だけ移動し、その後Aによって原点を中心に反時計周りに４５度回転させる変換です。”

私の考えだと、式(5)の順序から行くと、回転してから移動と思うのですが、何か間違っているのでしょうか？

元画像(1)は、座標（X=０Y=０、X=1Y=0、X=1Y=１、X=0Y=1）の範囲の正四角形になります。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> A＊B（X.Y.1）＝[Ａ行列]＊｛[B行列]＊（X.Y.1）｝
> で先に｛[B行列]＊（X.Y.1）｝の結果を出してから[Ａ行列]と計算する。
>
> つまり、（X.Y.1）に隣接しているＢ行列で答えを出してから、その結果をＡ行列で計算するということですか？

そうです。それが基本的な考え方になります。
｛[B行列]＊（X.Y.1）｝の計算結果が「(x, y, 1)をx方向に+1平行移動した座標」を表します。
そしてこの平行移動後の座標に、行列Aがかけられるという風になります。

一応補足しておくと、
行列では交換法則は成り立ちませんが結合法則は成り立ちます。
なのでABvの計算は(vはベクトル(x, y, 1)の事だと思ってください)、
A(Bv)と見なして計算できますし、
(AB)vと見なしても計算できます(どちらも同じ結果になります)。
ただ(AB)vの形で考えてしまうと、
「vに対してA, Bどちらの変換を先に施すのか」が分かりにくくなります。
なので慣れないうちはA(Bv)のように、
「vにどんな順番で行列がかけられるかが分かる形」を使って考えた方が良いと思います。

> ちなみに別の問題でB＊A（X.Y.1）＝[B行列]＊｛[Ａ行列]＊（X.Y.1）｝の問題があるのですが
> この場合も、｛[Ａ行列]＊（X.Y.1）｝を先に計算したあとに[B行列]と計算する。
> 結果”回転してから平行移動する。”って言うことですか？

その通りです。

> Ａ行列の回転の1/√２（≒0.7）座標に表現すると
> 〔0.7　-0.7　0〕
> 〔0.7　 0.7　0〕
> 〔　0　　 0 　1〕
> このようになるのですが、座標（X=1、Y=1）を表現する場合はどのようにすればよろしいのでしょうか？

ベクトル(x, y, 1)が(1, 1, 1)になります。

他の例ですと、例えば座標(x, y) = (2, -4)を表したい時は、
ベクトル(x, y, 1)が(2, -4, 1)となります。

お礼

大変、わかりやすい説明をありがとうございました。
学校で数学をサボっていた証拠で、この年になって数学の大切さが身に染みてます。

回答No.1

R_Earl

(x, y ,1)にどんな順番で行列がかけられるのかを考えてください。

行列の積では交換法則が成り立ちませんよね（AB = BAが成り立たない）。
なので(x, y, 1)に最初にかけられるのは、
(x, y, 1)のすぐ左隣りにある平行移動行列になるはずです。
だから最初に平行移動がなされます。

補足

素早い返答ありがとうございます。この問題で３日ほど考えこんでいたところです。

回答者様を自分なりで理解した内容は

A＊B（X.Y.1）＝[Ａ行列]＊｛[B行列]＊（X.Y.1）｝
で先に｛[B行列]＊（X.Y.1）｝の結果を出してから[Ａ行列]と計算する。

つまり、（X.Y.1）に隣接しているＢ行列で答えを出してから、その結果をＡ行列で計算するということですか？

ちなみに別の問題でB＊A（X.Y.1）＝[B行列]＊｛[Ａ行列]＊（X.Y.1）｝の問題があるのですが
この場合も、｛[Ａ行列]＊（X.Y.1）｝を先に計算したあとに[B行列]と計算する。
結果”回転してから平行移動する。”って言うことですか？

あつかましいですが、Ａ行列の回転の1/√２（≒0.7）座標に表現すると
〔0.7　-0.7　0〕
〔0.7　 0.7　0〕
〔　0　　 0 　1〕
このようになるのですが、座標（X=1、Y=1）を表現する場合はどのようにすればよろしいのでしょうか？