反発係数と収束する時間

質問

たとえば高さhから質点を自由落下させたとき、床と質点の反発係数がxだった時、床に制止するまでにかかる時間の求め方のアイディアを教えてください。

回答No.3

ElectricGamo · ベストアンサー

No.2さん、出てくる無限級数は Σ_{n=0}^{∞}x^n ですので収束します。

実際に解いてみます。ご質問の内容は解き方のアイデアですので、具体的な解き方や回答は不必要かも知れません。その場合はこれから下は見ないで下さいね。

まず、質点が最初に床に落ちた時の速度 v_0 とその時間 t_0 は

　v_0 = (2gh)^0.5
　t_0 = v_0 / g

です。質点が落ちて跳ね上がった瞬間の速度は、一回目は

　v_1 = x v_0

で、再び床に落ちるまでの時間 t_1 は

　t_1 = 2 v_1/g

です。同じことが n 回目の落下についても言えて、

　v_n = x v_{n-1}
　t_n = 2 v_n/g

ですので、落下させてから n 回目まで時間の合計は

　T = t_0 + t_1 + ‥ + t_n = v_0 / g ( 1 + 2 (1 + x + ‥ + x^n ))

となります。床に静止するまでの間には無限回の落下と反発を繰り返すと考えて n→∞とすると　Σ_{n=0}^{∞}x^n=1/(1-x) なので

　T = v_0 / g (1 + 2x / (1-x)) = v_0 / g (1+x) / (1-x)
　　= (2h/g)^0.5 * (1+x)/(1-x)　　(A)

となり収束値があります。

実は、熱や音などへのエネルギーの散逸は x < 1 の部分に含まれています。エネルギーの散逸がない場合には、x=1 なので、(A)の右辺は∞になって静止することはありません。逆に、落下して跳ね返らず床にくっつくようなx=0の時には (A) から T = (2h/g)^0.5でこれは t_0 に等しくなります。

お礼

具体的な計算までしていただいてありがとうございました。

自分でも計算してみましたが

落下させてから n 回目まで時間の合計は
　T = t_0 + t_1 + ‥ + t_n = v_0 / g ( 1 + 2x (1 + x + ‥ + x^n ))
ですよね。

後ろの式がそうなっていると思いますので、タイプミスかもしれませんが。。

自分の解答と照らし合わせることができて大変うれしかったです。

補足

本質的なことではないのですが

v_0 = (2gh)^0.5
は
v_0 = (gh)^0.5
ではないでしょうか

運動方程式
m(v0)^2 =mgh
よりの導出ですよね？

回答No.4

ElectricGamo

ごめんなさい。xを落としてました。

＞落下させてから n 回目まで時間の合計は
＞　T = t_0 + t_1 + ‥ + t_n = v_0 / g ( 1 + 2x (1 + x + ‥ + x^n ))
＞ですよね。

その通りです。他は大丈夫だと思います。

それから

＞v_0 = (2gh)^0.5
＞は
＞v_0 = (gh)^0.5
＞ではないでしょうか

ですが、力学的エネルギー保存は

　1/2 × m v_0^2 = mgh

なので係数の2が付きます。また、別の解き方として、落下の式から速度を出しても

　1/2 × g t_0^2 = h と v_0 = g t_0

から係数の2が付きます。

お礼

力学エネルギーの式、間違えてました（汗
ありがとうございました。

回答No.2

First_Noel

無限級数
Σ_{n->∞}(1/n)
は収束しないと思います（1/n^2のΣは収束しますが）．
ε-δ論法で証明されているかと思います．

xはx<1なる少数ですが，パラメータ表記することで上記の
整数和に書き換えは可能で，それが収束しないと言うことで，
ご質問の「床に静止するまでにかかる時間」は，∞となってしまうと思います．

現実的には物体は質点ではないのでその内部エネルギーへの変換がありますし，
衝突時に熱として散逸する分があるので，有限時間となります．

回答No.1

takscape

1. 質点を 高さ Z から自由落下させると、
床に到達するまでにどれだけの時間がかかるかを
まず求めましょう。

t = f(Z)

2. 次に、高さ z から落とした物体が跳ね返って戻ってきたとき、到達できる高さを求めましょう。

Zn+1 = g(Zn, x) (nは跳ね返った回数を示す添え字）

3. 1. 2. を用いると、跳ね返ってからまた床に到達するまでの時間が無限数列として求まりますね？
あとは数列の和を計算するだけです。