sinθ-sinθcosθの最大値を求めたいのですが、どうすれば求まる

質問

sinθ-sinθcosθの最大値を求めたいのですが、どうすれば求まるでしょうか？

合成したり、sinθcosθ=1/2*sin2θと変形して、2次関数の形に変形したりできず困っています・・・。

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

求め方は、まず与式の変形
>sinθcosθ=1/2*sin2θと変形して
この変形は良い方針です。

y=sinθ-(1/2)sin2θ　‥‥(1)

次に導関数を求める。
y'=cosθ-cos2θ
=-(2cosθ+1)(cos-1)

次に極値をとるθの値を調べる。
y'=0　から　cosθ=-1/2,1
θ=(2/3)π、0

次に増減表を作る。
(1)は周期2πの周期関数だから、0≦θ≦2πの範囲
で増減表を作成する。

最大となるθと最大値を求める。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、微分を使うんですね。三角関数の微分はあまりり馴染みがないので、思いつきませんでした。。

回答No.7

mister_moonlight

結構いろんな方法があるようだ。。。。。ｗ

sinθ＝x、cosθ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1　の時に　sinθ-sinθcosθ＝x(1-y)＝k　の最大値を求める。
そこで、1-y＝aとすると、x＾2＋(a-1)＾2＝1　‥‥(1)の時に　sinθ-sinθcosθ＝xa＝k　‥‥(2)の最大値を求める。
(1)から、x＾2＝2a-a＾2≧0より、0≦a≦2　‥‥(3)
k＝xa＝±a√(2a-a＾2)　0≦aより　k＝xa＝±√(2a＾3-a＾4)であるが、(2a＾3-a＾4)≧-√(2a＾3-a＾4)であるから、　k＝√(2a＾3-a＾4)を考えると良い。
f(a)＝2a＾3-a＾4　として微分して(3)の範囲で増減表を書くと、a＝3/2で最大値をとる。
f(3/2)＝27/16から、kの最大値は　3√3/4　そのとき、1-y＝a＝3/2、x＝k/a＝√3/2.

(1)と(2)から円：(1)と双曲線：(2)が接する場合を考える事も出来るが、計算が面倒そうだ。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございました。

sinとcosを置き換えることで、うまく微分で求められるんですね。

回答No.6

mister_moonlight

別解。

0≦θ＜2πで考えても一般性を失わない。
θ＝πの時、sinθ＝0、cosθ＝-1から、k＝sinθ-sinθcosθ＝0　よってこれも解の一部。
θ≠πの時、tan(θ/2)＝tとすると、tは全ての実数値であり、sinθ＝(2t)/(1+t＾2)、cosθ＝(1-t＾2)/(1+t＾2)から、代入すると、
k＝sinθ-sinθcosθ＝(4t＾3)/(1+t＾2)＾2＝f(t)として微分の上で、最大値を求める。

続きは、自分でやって。

お礼

回答ありがとうございました。

このような方法もあるんですね。。
大変参考になりました。

回答No.5

mister_moonlight

θに条件があれば、同値性に注意して、2乗したものの最大値を求めると言う方法も考えれる。
どうせ微分を使うなら。

sinθ＝x、cosθ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1　‥‥(1)、sinθ-sinθcosθ＝x(1-y)＝k　‥‥(2)とする。
1-y＝0の時、k＝0で　その時(1)からx＝0、従って　これも求める解の一部　‥‥(3)
1-y≠0の時、(2)のxを消して(1)に代入して整理すると、k＾2＝(y-1)＾2*(1－y＾2)＝f(y)。
次に、f(y)を微分して　-1≦y＜1　の範囲で増減表を書くと、y＝-1/2で極大かつ最大。
従って、f(-1/2)＝27/16　から　｜k｜≦3√3/4　‥‥(4)

以上、(3)と(4)から　最大値は　3√3/4　でそのとき、y＝cosθ＝-1/2で　x＝sinθ＝±√3/2。

お礼

回答ありがとうございました。

この方法だと、三角関数の微分を使わなくても求められますね。
参考になりました。。

回答No.4

Mr_Holland

ANo.3です。
　図が添付できなかったようですので、再度　図のみ添付して回答します。

回答No.3

Mr_Holland

微分を使ってもよろしいでしょうか？
　そうすると、増減表から求められます。
　グラフを添付しますので参考にしてください。

　　θ=2π/3+2nπ　のとき　最大値　3√3/4　をとります。

お礼

微分で考えると求めることが出来るんですね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

debukuro

極大値の間違いじゃないでしょうね
極大値は１ですが最大値は範囲を指定しないと定まりません
sinθの極大値は１です
このときcosθはゼロです
∴sin９０°ーsin９０°cos９０°＝１

お礼

回答ありがとうございます。

一応確認してみたところ、最大値は一通りにさだまるようですが・・・。