数学I 「対称性を崩さない式変形」とは？

質問

数学I　「対称性を崩さない式変形」とは？

　いつもお世話になっております。
　数学Iの対称式の分野で「対称性をできるだけ崩さずに式変形すると・・・」
という表現があり、式変形は確かに示されているのですが、そもそもこの
「対称性をできるだけ崩さずに式変形する」とはどのようにすることを意味するので
しょうか。

　a(１／b＋１／c）＋b(１／c＋１／a）＋c(１／a＋１／b）　　←　元の式
＝（b＋c）／a＋（c＋a）／b＋（a＋b）／c　　　　　　　　　　←　対称性を壊さない式変形

　単に展開してまとめているようなのですが、何か基準があるのでしょうか。
　よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

対称性というのは、a,b,c　の3文字をどのように入れ替えても式全体で値が変わらないことを言います。

＞＝（b＋c）／a＋（c＋a）／b＋（a＋b）／c　　　　　　　　　　←　対称性を壊さない式変形

　この式も　a,b,cの3文字を入れ替えれば、　（b＋c）／a は（c＋a）／b　か（a＋b）／c　のいずれかになり、他の項も同様に別のどれかの項と同じになります。
　解答の式変形はこの基準でまとめられていると思います。
　なお、ANo.1さんは　3文字の基本対称式(a+b+c,ab+bc+ca,abc)の3つの式で表すことを示していますが、上の式でも十分に対称性は維持されています。

お礼

Mr_Hollandさん

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

2文字、aとbについてなら　a＋b　と　ab　をセットで利用する事を意味する。
3文字なら、a＋b＋c、ab＋bc＋ca、abcをセットで利用する事を意味する。
この考え方は、方程式の解と係数に利用される事が多い。2次方程式でも、3次方程式でも、又　4次方程式でも。

この問題では3文字だから、対称性を利用すると言うなら(質問者の書き込みミスだろうが)、次のようにしたら良い。

a(１/b＋１/c）＋b(１/c＋１/a）＋c(１/a＋１/b）＝a(１/b＋/c＋１/a）＋b(１/c＋１/a＋１/b）＋c(１/a＋１/b＋１/c）-3＝(a＋b＋c)*(１/a＋１/b＋１/c)-3＝(a＋b＋c)*(ab＋bc＋ca)/(abc)-3　というように変形する。

対称性を利用するとうまくいく場合が多いが、慣れないと“生兵法はケガの元”になる。
だから、対称性を利用する事は頭に入れとくが、先ずはそれにこだわらずに解くことを目指したら良い。
対称性に着目して解くのは、次の段階で(実力が、もう少しアップしてから)挑戦したら良い。

お礼

mister_moonlightさん

ご回答ありがとうございました。
とても参考になりました。