式変形

質問

（問）三角形ＡＢＣの三つの内角の大きさをＡ、Ｂ、Ｃとしてそれらに対する辺の長さをabcとして、関係式acosＡ＝bcosＢが成り立つとき、三角形ＡＢＣはどんな三角形か？
（解答）
関係式をa,b,c,で表して式変形をすればよく解答を見て理解できるのだが、どういう方針をもって式変形すればいいのか教えてください。自分でやると辿り着けたり、着けなかったりするので。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞どういう方針をもって式変形すればいいのか。
（１）辺のみ。（２）角のみ。
後は　（裏読みで）　、単に　二等辺三角形では　（面白みない）。

（１）辺。
acosＡ＝bcosＢ
a{ {(c^2)+(b^2)-(a^2)}/2cb }=b{ {(c^2)+(a^2)-(b^2)}/2ca }
(a^2){(c^2)+(b^2)-(a^2)}=(b^2){(c^2)+(a^2)-(b^2)}
(a^2){(c^2)-(a^2)}=(b^2){(c^2)-(b^2)}
{ (b^4)-(a^4) }-(c^2){ (b^2)-(a^2) }=0
(b+a)(b-a){ (b^2)+(a^2)- (c^2)}=0
b=a または　(c^2)=(a^2)+(b^2)
・・・

（２）角。
acosＡ＝bcosＢ
２ＲsinＡcosＡ＝２ＲsinＢcosＢ
sin（２Ａ）＝sin（２Ｂ）
０度＜２Ａ＜３６０度、０度＜２Ｂ＜３６０度、０度＜２Ａ+２Ｂ ＜３６０度。
＜　ここが少しひっかかるかも知れないです。＞
＜　角度を扱う時は、やはり注意が必要のようです。＞
２Ａ＝２Ｂ または ２Ａ+２Ｂ ＝１８０度
Ａ＝Ｂ　または　Ａ＋Ｂ＝９０度
・・・

回答No.3

take_5

＞どういう方針をもって式変形すればいいのか教えてください

cosθで与えられた条件の場合は余弦定理、sinθで与えられた条件の場合は正弦定理を使うと思ってて良いと思います。
但し、“常に上手くいく”とは限りませんが、先ず最初はそう思って試行してみてください。

回答No.2

postro

どんな三角形か？と問われる問題の答えは、ほとんどの場合、
正三角形、二等辺三角形、直角三角形　のどれかです。
ちょっとずるいですが、このうちのどれかだろうな・・・と予想しながら考えるといいです。
だとすると、角度の関係式はあまりありがたくない。
辺の長さの関係式の方がわかりやすいし、扱いやすい。
そこで与えられた　acosＡ＝bcosＢ　をなんとか辺の長さだけにしたくなります。
→余弦定理を使えばcosA,cosB を辺の長さに置き換えられる。

回答No.1

info22

質問者さんの解答を何も書かず、回答者に解答を求めるのはマナー違反になります。
ますご自分の解答を補足に書いて下さい。あるいは再質問して下さい。

ヒントだけ
正弦定理使用で
二等辺三角形a=bまたは直角三角形C=90°
が導けます。