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積分を微分したもの
積分を微分したもの g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ は、なんで、 g'=f(t) になるんでしょうか？ なんでτのところがtになるんでしょうか？ 証明をお願いします。
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f(τ)を積分したものをF(τ)とおいてみましょう。 F(τ)=∫f(τ)dτ すると、g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ は次のように書き換えられます。 g(t)＝F(t)-F(0) ここで両辺をtで微分します。 g'(t)=F'(t)=f(t) g(t)=∫(0からt)f(τ)dτ ⇒ g'=f(t) は上記のことを簡略化して公式化したものです。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
高校数学では、不定積分を原始関数の別名として定義し、 定積分は不定積分の値の差として定義するから、 質問の式は、「定義より自明」でしかない。 これが、指導要領に沿う回答。つまらんけど。 大人の数学では、定積分には、微分を経由しない定義があり、 定積分が原始関数の値の差で表されるという事実は、 「微積分学の基本定理」といって、一大定理となっている。 その証明は自体は、それほど難しくはないけれど、 前提として定積分を定義するところが少し難しいので、 ここで説明しきる自信は無いな。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 高校数学の積分で、原始関数というのが出てきたと思います。 それを用いれば・・・ 積分が「微分の逆」と言われる基礎事項のところですね。＾＾
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
g(t) が何の関数なのか, そして「g'」とは「どの変数で微分したものなのか」を考えてください.
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お礼
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