χ^2分布と標本の関係
- 正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出したとき，Z＝{(X_1－μ)^2＋(X_2－μ)^2＋…＋(X_n－μ)^2}/σ^2は自由度nのχ^2分布に従う．
- 正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出し，標本平均X＝(X_1＋X_2＋…＋X_n)/nを作ると，Z＝{(X_1－X)^2＋(X_2－X)^2＋…＋(X_n－X)^2}/σ^2は自由度n－1のχ^2分布に従う．
- 命題1では母集団の平均μが既知であるのに対し，命題2では母集団の平均μが未知の場合を考えています．これにより，標本平均Xを導入することで自由度が1減少することになります．
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χ^2分布と標本の関係
命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出したとき， Z＝{(X_1－μ)^2＋(X_2－μ)^2＋…＋(X_n－μ)^2}/σ^2 は自由度nのχ^2分布に従う． というのは理論的に数式から導かれたものなので，納得できました． ところが， 命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出し， 標本平均X＝(X_1＋X_2＋…＋X_n)/n を作ると， Z＝{(X_1－X)^2＋(X_2－X)^2＋…＋(X_n－X)^2}/σ^2 は自由度n－1のχ^2分布に従う． が成り立つ理由が分かりません．数式を用いて理論的に教えて下さい．
- Rossana
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小寺平治：明解演習 数理統計、共立出版、1986 pp.97-99をご参照ください。 ちなみにこの本、かなぁり良いです。 この問題、けっこう面倒くさいです。直交変換がどーたらこーたら・・・私は「ふ～ん」と思って、あとは公式として使わせてもらうことにしました。（笑）
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