高校数学の標本平均について 教えてください。

質問

母集団から大きさnの無作為標本を抽出しそれらの変量xの値をX1.X2.….XnとするときXバー=(X1+X2+…Xn)/nを標本平均という。標本平均Xバーの確率分布と母集団分布関係を調べよう。母平均m,母標準偏差σの母集団から大きさnの無作為標本を抽出しそれらの変量xの値をX1.X2.….Xnとする。各Xkはどれも大きさ１の標本で母集団分布に従う確率変数である。よってE(X1)=E(X2)=E(Xn)=m
σ(X1)=σ(X2)=σ(Xn)=σであるしたがって
E(Xバー)=mになる。
また復元抽出の場合はX1.X2.….Xnは互いに独立な確率変数であるから分散V(Xバー)=｛V(X1)+V(X2)+…+V(Xn)｝/n＾2というところがわかりません。
なぜn＾2で割ることになるのですか？
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

alice_44

確率変数 X,Y 定数 c に対して
E(X+Y) = E(X)+E(Y),　　　　…[1]
E(cX) = cE(X),　　　　…[2]
V(X+Y) = V(X)+V(Y),　　　　…[3]
V(cX) = (c^2)V(X)　　　　…[4]
は、基本公式なので、
押さえておいたほうが良いです。

[3][4] を使って、
V( {X1+X2+…+Xn}/n ) = { V(X1)+V(X2)+…+V(Xn) }/n^2
となるのですが、
今回は、[4] の由来についての質問ですね？

確率変数 X の密度関数を f(x)、
X を定数倍した確率変数を Y = cX と置くと、
Y の密度関数 g(Y) は、
X < t ⇔ Y < ct より
∫[x<t] f(x) dx = ∫[y<ct] g(y) dy
を t で微分して、
f(t) = c g(ct) です。

これを使って、
V(cX) = V(Y) = ∫ (y - E(Y))^2 g(y) dy
= ∫ (cx - E(cx))^2 (f(x)/c) (c dx)
= ∫ (cx - cE(x))^2 f(x) dx
= (c^2) ∫ (x - E(x))^2 f(x) dx
= (c^2) V(X)
となります。

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

Xバーを計算するときに n で割ってるから.

お礼

ともかくありがとう