高校3年理系です

質問

高校3年理系です
物理IIのコンデンサーの範囲についての質問です

起電力Vの電源と抵抗値Rの抵抗、そして電気容量CであるコンデンサーとスイッチSがあるとき（回路設定:起電力V→スイッチS→抵抗R→コンデンサーC（→起電力V））

始めにSを閉じ、充分に時間がたった後にSを開く
ただしSを閉じた瞬間をt=0とする
コンデンサーの正極側の極板電気容量をq、その極板に流れ込む向きを正とする電流をiとしたとき、q、iをそれぞれ時刻tの関数として求めよ

という設問です

順に解いていくと、

電流の定義と回路の方程式より、
Ri+q/C=V
i=dq/dt
というアプローチが可能と思います

これらよりiを消去すると、
dq/dt=-(q-CV)/RC

という式変形まではたどり着きました

ところが、解答が不親切なのか、
この後の表記が突然、
「初期条件q(0)=0を満たす解は、q(t)=CV-CVe^(-t/RC)である」
となっております

この流れが掴めずにいるのですが、どなたかご解答お願いいただけないでしょうか?
ボクはその辺の微分系の計算がわからないので、そこの説明もいただけるとありがたいです
つたない文章、読みづらい表記で申し訳ないです

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

dq/dt=-(q-CV)/(RC)

dq/(q-CV) = -dt/(RC)

t=0～t のとき，q=0～q

∫[0～q] dq/(q-CV) = -∫[0～t]dt/(RC)
ln |q-CV| - ln |-CV| = - t/(RC)
ln {(q-CV)/(-CV)} = -t/(RC)
(q-CV)/(-CV) = e^{-t/(RC)}
∴q(t) = CV - CVe^{-t/(RC)}

となります。

お礼

ありがとうございます!
よく理解できました。

ln　の表記を知らなかったので少々時間がかかりましたが、
eを底とする対数表示のことですね。

微分ではなく積分でしたか
このレベルならまだなんとか、ですが、
数学IIICは受験に使わないので、ちょっと心配です

丁寧な式変形でわかりやすかったです。
ありがとうございました。