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バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi grou
バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi group(積は合成)Sがあるとします。 xをXの0でない元とするとき、Xの部分集合{ f(x): fεS }の弱閉包は、0を含むでしょうか? 長時間考えているのですが、どうしてもわかりません。どなたかお助けください。
- tanukinoyama
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- muturajcp
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x≠0 f(x)∈{f(x):f∈S} とすると fは等長 |f(x)|=|x|だから {f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|}閉だから {f(x):f∈S}の閉包をcl{f(x):f∈S}とすると cl{f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|} |x|>0だから 0∈{y:|y|<|x|}=X-{y:|y|≧|x|}⊂X-cl{f(x):f∈S} 0∈X-cl{f(x):f∈S} ∴ {f(x):f∈S}の閉包cl{f(x):f∈S}は0を含まない
- Anti-Giants
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難しそうな問題ですね・・・。 私ごときには解けませんでした。 知っているかもしれませんが、「Xが無限次元ノルム空間のとき、{x∈X|norm{x}=1}の弱位相による閉包は{x∈X|norm{a}≦1}」です。これはヒントになりませんか。
お礼
考えてくださり、ありがとうございました。 ノルム空間の単位球面の弱閉包が閉単位球になることは、 知りませんでした。教えてくださりありがとうございました。 今のところまだ、解決できません。
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回答ありがとうございます。 わからなかったのですが、{y:|y|≧|x|}は弱閉になりますか?