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線形写像について（急いでいます！）
（開写像定理の証明の最初にでてきた以下の部分がわかりません） N：ノルム空間 T：N上の線形連続写像 Bn：{x : x∈N ,||x||<n} とします． このときに ∪_{n=1}^{∞} TBn =T∪_{n=1}^{∞} Bn が成り立つ理由がわかりません． つまりTの線形性から有限個の和集合だったら順番をいれかえても大丈夫なことはわかりますが ∞個でも順番をいれかえていいのはなぜでしょうか？ 宜しくお願いします．
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和集合の定義に従うだけです。有限、無限和に関わらず左辺からある元xをとったときそれの意味するところは「あるnが存在し、x∈T(Bn)」です。このxは明らかに右辺に含まれています。右辺の表す集合の元yの意味するところは「あるnが存在し、y∈T(Bn)」でありこれは左辺のただの言い換えに過ぎないからです。逆も同様です。
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どうもありがとうございます． 和集合の定義から明らかなのですね！気になっていたことがわかってすっきりしました．