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次の関数の極限を求めよ。
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高校では、自然数 n について lim(n→∞) (1+1/n)^n を e の定義として教わる。 実関数 (1+1/r)^r が r > 0 の範囲で単調増加であることから、 ハサミウチの定理により、実数 r についても lim(r→∞) (1+1/r)^r = e となる。 r = x/3 で置換すれば、完了。
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- 19740828
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少し長くなりますがよろしいでしょうか? まず、自然対数eの定義ですが、このeという数はy=e^xとすると、x=0のときにyの傾きが1になる、 つまりy'(0)=1になる数です。 ここで、微分の定義から、 y'(x)=lim(h→0)(y(x+h)-y(x))/h = lim(h→0)(e^(x+h)-e^x)/h となります。 y'(0)=1ですから y'(0)=lim(h→0)(e^(0+h)-e^0)/h = 1 =lim(h→0)(e^h - 1)/h = 1 変数を置き換えて lim(x→0)(e^x - 1)/x = 1 ......(1) 次のステップに移ります (1)式より lim(x→0)(e^x - 1) = lim(x→0)x lim(x→0)e^x = lim(x→0)(x+1) 両辺の対数をとって lim(x→0)log(e^x) = lim(x→0)log(x+1) lim(x→0)xlog(e) = lim(x→0)log(x+1) lim(x→0)log(e) = lim(x→0)(1/x)log(x+1) log(e) = lim(x→0)log((x+1)^(1/x)) e = lim(x→0)(x+1)^(1/x) 次にy=e^xとするときy'=e^xを証明します。 微分の定義から y' = lim(h→0)((e^(x+h)-e^x)/h y' = lim(h→0)((e^x・e^h -e^x)/h y' = lim(h→0)e^x(e^h - 1)/h y' = e^x・lim(h→0)(e^h - 1)/h ここで式(1)より y' = e^x・1 = e^x......(2) 次に合成関数の微分法がわかるのであれば、 y=e^axのとき y' = a・e^ax になるというのは、わかりますね。 これよりy'(0) = a 微分の定義から y'(0) = lim(h→0)(e^a(0+h)-e^a・0)/h = a lim(h→0)(e^ah - 1)/h = a lim(h→0)(e^ah - 1) = lim(h→0)(ah) lim(h→0)(e^ah) = lim(h→0)(ah+1) ここで前と同じように両辺の対数をとると lim(h→0)log(e^ah) = lim(h→0)log(1+ah) lim(h→0)h・log(e^a) = lim(h→0)log(1+ah) lim(h→0)log(e^a) = lim(h→0)(1/h)log(1+ah) log(e^a) = lim(h→0)log((1+ah)^(1/h)) e^a = lim(h→0)(1+ah)^(1/h) 変数を置き換えて x = 1/h この時 h→0,x→∞ したがって、 e^a = lim(x→∞)(1+a/x)^x となり、結局答えは、a=3として e^3です。
- naniwacchi
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こんばんわ。 同種の問題は過去にも何度か質問されていましたので、検索もしてみてください。 考え方は、自然対数の底:eの定義式に合うように変形をします。 これだけです。^^
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
e って知ってる?
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補足
はい。2,なんとかですよね。