大学一年の線形代数に関する質問です。

質問

大学一年の線形代数に関する質問です。
以下の問題解ける方がいらしたら、助けていただけませんでしょうか？

問題
AとBを3×3の実対称行列とする。いまAが、ある直交行列Pによって次のように対角化されるものとする。

λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3

λi≠λj（i≠j）

このとき、BがPによって対角化されるための必要十分条件はAB=BAであることを示せ。

「Bが実対称行列」←→「対角化可能」
は理解しています。（実対称行列についても、対角化についても勉強しました。）
しかし、「AB＝BA」←→「Pによって対角化可能」の部分が分かりません。

おそらくPAPやtB=B,tA=Aを使うと思うのですが、わかりません。
「Pによって対角化可能」→ 「AB＝BA」
のヒントだけでも教えていただけないでしょうか？

回答No.4

shippo_ppk · ベストアンサー

＃２です。

「Λa,Λbは対角行列のことですよね？」　そうです。
「逆に関しての途中ですが」　以下は読んでいません。

ＡＢ = ＢＡ
（Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= （Ｐ^-1ＢＰ）（Ｐ^-1ＡＰ）
Λa（Ｐ^-1ＢＰ）= （Ｐ^-1ＢＰ）Λa

Ｃ = Ｐ^-1ＢＰ
とおくと
ΛaＣ = ＣΛa
なので、上式より
Ｃ = Λb
Ｐ^-1ＢＰ = Λb
を導けませんか。

お礼

ΛaＣ = ＣΛa
なので、上式より
Ｃ = Λb

この問題は、３×３行列なので、手計算を施し、P^-1 BPが対角行列だということが導くことができました。
ありがとうございます。

しかし、n×n行列で
ΛaＣ = ＣΛa　→　Ｃ = Λb
をいうのは、ちょっと難しそうです。
成分をcijなどと置くのでしょうかね。

回答No.6

Tacosan

へい, 「ゼロベクトルは固有ベクトルではない」というのがポイントです.
もちろん, 今の場合は最終的に「(とある) 固有ベクトルのスカラー倍」ということが言えればいいので「ゼロベクトルかどうか」というのは無視していいんですが, 記述においてはやっぱり気を付けておいた方がいいと思う.

お礼

ありがとうございます。
大変助かりました。

おかげさまで、問題が解けるだけでなく理解も深まりました。

回答No.5

Tacosan

順序を逆にします.
「なぜ、yがxの定数倍になっていないといけないのでしょうか？」については λi≠λj（i≠j）という条件によります. この条件から「どの固有値についてもその固有空間の次元が 1」である, つまり「どの固有ベクトルもある 1つの固有ベクトルの定数倍である」ことが導けます.
で () 内の言葉ですが, それはまさに私が誘導した通りの間違いです. ほとんど固有ベクトルでいいんですが, 実際には「固有ベクトルでない場合」にも成り立つことがありえます. どのような場合であるかは, 固有ベクトルの定義にこっそり書いてあります.

お礼

ありがとうございます。
＞「どの固有値についてもその固有空間の次元が 1」
わかりました。
教科書の固有値、固有ベクトルの出し方の所を読んだら書いてありました。

ところで、引っかかってしまった点は、「ゼロベクトルは固有ベクトルに含まない」という点でしょうか？

回答No.3

Tacosan

ベクトルはちゃんと小文字で書こうよと思いつつ, 以下の () に適当な言葉を入れよ:
y = Bx とおくと
ABx=λ1 Bx
は
Ay = λ1y
とかける. このような y は A の固有値 λ1 に対する (　) であり, したがって定数 α を用いて
y = α x
と書くことができる.
ちなみに前の時に指摘されているんだけど
「Bが実対称行列」←→「対角化可能」
はなぜ? あと, 「PAP を使う」の意味は不明.

お礼

Ay = λ1y
とかける. このような y は A の固有値 λ1 に対する (固有ベクトル) であり, したがって定数 α を用いて
y = α x
と書くことができる.

その従っての部分がよくわかりません。
なぜ、yがxの定数倍になっていないといけないのでしょうか？

「Bが実対称行列」→「直交行列Pによって対角化可能」の証明
まず、Bは３つの固有値をもつことが導かれる。
さらに、適当な直交行列Pが存在して、
λ1 ＊
P^-1 B P= ...
O λ2
と三角化できる。tP=P^-1,tB=Bより、t(P^-1 BP)=P^-1 BP
すなわち、P^-1 BPも対称行列。
よって、＊＝Oなので、Bは上の式ですでに対角化されている。

逆の証明
Bが対角化できるので
t(P^-1 BP)=P^-1 BP
また、tP=P^-1なので、P^-1 BP=p^-1 tBP
よって、B=tB。

補足

すいませんPAPは気にしないでください。

回答No.2

Tacosan

「良回答があった」んでしょ? なんでなかったことにして全く同じ問題をまた聞くの?

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6036209.html

お礼

申し訳ありません。
前回の質問内容は、こちらの記述が不十分だったので。
最初から「分かっている点を明らかにした質問」を行うべきでした。

回答No.1

shippo_ppk

（Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= Ｐ^-1(ＡＢ)Ｐ
（Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= Λa Λb
ＡＢを交換したらどうなりますか。

お礼

ありがとうございます。
助かります。

Λa,Λbは対角行列のことですよね？
すると、
Λb Λa = Λa Λb
となり、ＡＢ＝ＢＡになりますね！！

逆に関しての途中ですが、

AX=λ1 X
ABX=λ1 BX
のとき、（Xは固有ベクトル）
BX=αX
と表せる

は正しいでしょうか？
これが正しいと、Bはα以外にも２つの固有値が存在するため、逆も成立するんですが・・・。

逆の証明
AX=λ1 X
BAX=Bλ1 X
A(BX)=λ1(BX)
BX=αX
・・・