(1)a^nの一般の形を証明する
- a=［1 1 ］ ［0 1 ］の行列を使用し、a^nをいくつかのｎで計算してその形を証明する。
- b=［1 1 1］ ［0 1 1］ ［0 0 1］の行列を使用し、b^nをいくつかのｎで計算してその形を証明する。
- c=［1 1 1 1］ ［0 1 1 1］ ［0 0 1 1］ ［0 0 0 1］の行列を使用し、c^nをいくつかのｎで計算してその形を証明する。
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(1)a=［1 1 ］
(1)a=［1 1 ］ ［0 1 ］としたとき，a^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (2)b=［1 1 1］ ［0 1 1］ ［0 0 1］ としたとき，b^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (3)c=［1 1 1 1］ ［0 1 1 1］ [0 0 1 1］ ［0 0 0 1］としたとき，c^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい て，その形を証明せよ。 (4)D=［cosφ -sinφ］ ［sinφ cosφ］としたとき，D^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい て，その形を証明せよ。 (5)G=［cosθ sinθ］ ［sinθ -cosθ］としたとき，G^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい て，その形を証明せよ。 (1)については，a^n=［1 ｎ］ ［0 1 ］がわかり，数学的帰納法で，a^n+1のときも出したのですが，証明の書き 方に自信がありません。 (2)については，b^2=［1 2 3 ］c^3=［1 3 6 ］ ［0 1 2 ］ ［0 1 3] ［0 0 1 ］ ［0 0 1］という風に，b^4，ｂ^-1，b^-2，b^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。 (3)についても，c^2=［1 2 3 4］c^3=［1 3 6 10］ ［0 1 2 3］ ［0 1 3 6］ ［0 0 1 2］ ［0 0 1 3］ ［0 0 0 1］ ［0 0 0 3］という風に，c^4，c^-1，c^-2，c^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。 (1)は，証明(数学的帰納法)の書き方を，(2)(3)については，一般のｎを，(4)(5)については，最初から教えてもらえませんか。よろしくお願いします。
- ikuminori
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(5)について： G^2 = E_2 であることを、成分計算で示せば十分では？ G^(2k) = (G^2)^k = (E_2)^k = E_2. G^(2k+1) = G G^(2k) = G E_2 = G.
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- alice_44
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例えば、(1) であれば、二項定理に従って a^n = (E_2 + N_2)^n = Σ[k=0…n] (nＣk)(N_2)^k となる。 (N_2)^2 = Ｏ であることから、k ≧ 2 に対して (N_2)^k = Ｏ。 よって、a^n = (nＣ0) E_2 + (nＣ1) N_2 であると判る。
- alice_44
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(1)(2)(3) では、帰納法は要らないかも。 ［1 0］ ［0 1］= E_2 ［0 1］ ［0 0］= N_2 ［1 0 0］ ［0 1 0］ ［0 0 1］= E_3 ［0 1 0］ ［0 0 1］ ［0 0 0］= N_3 ［1 0 0 0］ ［0 1 0 0］ ［0 0 1 0］ ［0 0 0 1］= E_4 ［0 1 0 0］ ［0 0 1 0］ ［0 0 0 1］ ［0 0 0 0］= N_4 と置くと、 a = E_2 + N_2, b = E_3 + N_3 + (N_3)^2, c = E_4 + N_4 + (N_4)^2 + (N_4)^3. あとは、多項定理による展開。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86 (4) は、回転を表す行列。 (5) は、線対称移動を表す。
補足
ありがとうございます。 a = E_2 + N_2, b = E_3 + N_3 + (N_3)^2, c = E_4 + N_4 + (N_4)^2 + (N_4)^3. までは，できました。 この後，多項定理をどう使ったらよいのでしょうか？教えてください。
はあ？数学的帰納法の証明の仕方くらい教科書にあるだろ。(2)も(3)も同じ。ひたすら計算 (4)の行列式はある(x,y)の点を反時計回りにΘ回転させる作要素をあらわすんだよ。 (5)は(4)の逆回り。 そしたら(4)(5)については行列をかけることによって分かるだろ。 ちなみに答えはΘをnΘにするだけ。
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