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nが整数のとき、n^2が素数aの倍数ならばnはaの倍数である、は真ですか?
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「n^2 が素数 p の倍数」なら「n が p の倍数」は真です. 証明は... 「高校数学」ってどこまで使っていいんでしたっけ? ・「ab が素数 p の倍数なら a か b が p の倍数」を使っていい → n^2 = n・n より自明. ・「素因数分解が一意である」ことを使っていい → ほぼ自明. n = p1 p2 ... と素因数分解すると n^2 = p1^2 p2^2 ... となって, 後者のどこかに p があるならそもそも前者のどこかに p がある. ・合同式と二項定理を使っていい → n^p ≡ n (mod p) を二項定理+帰納法で証明. あとは (p ≧ 3 を仮定していいので) n^p ≡ n^2 ・ n^(p-2) ≡ n となるので n^2 が p で割切れるなら n も p で割切れる.
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