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相加平均相乗平均について
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他にも検索すればあるかも知れませんが, 例え下記URLなどはどうでしょう. http://www.interq.or.jp/student/suugaku/mondai/heikinn/heikin.htm
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- oshiete_goo
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先ほどと重なるかも知れませんが(たどれば中身は同じ？) http://www.interq.or.jp/student/suugaku/taiwa/node108.html の方が見やすいようです. 凸関数を使う 特殊な関数を使う 数列だけで(工夫して)解く などいろいろです．
- i536
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一般にｎ個の正数a1,a2,...,aNに対して、 (a1+a2+...+aN)/N >= (a1*a2*...*aN)^(1/N) >= N/((1/a1) + (1/a2) + ... + (1/aN)) それぞれ、相加平均 >= 相乗平均 >= 調和平均 が成立します。 証明は、対数関数logXが上に凸であることを利用します。 ｎ個の点、(a1,log a1),(a2,log a2),...,(aN,log aN)からできる、 凸角形を考えます。 j1+j2+...+jN=1,かつすべての ji>=0(i=1...N) ---(1) とするとき、ベクトルの計算から、 点p = (j1*a1+j2*a2+...+jN*aN,j1*loga1+j2*loga2 + ...+jN*logaN) は、上記凸角形の内部に含まれることがわかります。 そこで、点ｐのｘ座標をlogXに代入した値と、点ｐのｙ座標を比較すると(2)が成立します。 j1*(log a1)+j2*(log a2) + ...+jN*(log aN) <= log(j1*a1+j2*a2+...+jN*aN) ---(2) (2)で、j1=j2=...=jN=(1/N)とおけば、 ((log a1)+(log a2) + ...+(log aN))/N <= log((a1+a2+...+aN)/N) ---(3) (等号は a1=a2=...=aN=1 のとき) (3)から、log を外すと、 (a1*a2*...*aN )^(1/n)<=(a1+a2+...+aN)/N (等号は a1=a2=...=aN=1 のとき).
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