相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか？

質問

相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には
a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で
左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0
と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。
でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。
例えば　(a+b)^2>=(√2ab)^2とします。
左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり
a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります
。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。

しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。
ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。

回答No.3

hiro1122 · ベストアンサー

いい質問ですね。この質問できっとあなたの実力が上がるでしょう。
a+b>=2√ab　のような
相加相乗平均の関係式の右辺が左辺の最小値を与えるのは、等号成立条件を満たすa,bの値が存在するときのみに限られます。このことは当然理解していただけると思います。（等号が成立しなければ、右辺が左辺の最小値になるはずがありません）

さて、この右辺が最小値になるとは思えないという理由に
(a+b)^2>=(√2ab)^2
という不等式を挙げていらっしゃいますが、この式の等号成立条件はおっしゃるとおりa=b=0ですから、これが成り立つようなときは右辺が左辺の最小値を与えることになります。ここまでは理解されていると思います。次に2√ab>√2abですからとおっしゃっているところに間違いが存在します。なぜなら2√ab=√2abとなることがあるからです。これはa=b=0のときに成立します。つまり、a=b=0のときは
(a+b)^2=(2√ab)^2=(√2ab)^2=0
となるので、質問者様の反論は成立していないのです。

2^X+2^(-X)の最小値に関しては相加相乗平均の等号成立条件は2^X=2^(-X)であり、これを解くとX=0であって、最小値は２と分かります。一方、「さきほどの方法」つまり質問者様の反論に使われた式は等号成立条件を満たすXの値が存在しませんから、右辺の値は左辺の最小値を与えることはできないのです。

お礼

おっしゃる通りだと思います。a,bが任意の値を示す時にはa+b>=2√abが妥当で、a=b=0の時はa+b>=√(2ab)になりますが2√ab=√2ab=0になってしまってa+b>=2√abが正しいということですよね。分かりました。

回答No.6

Meowth

他に範囲の求め方もたくさんあるが、
相加相乗平均を使って2^x+2^(-x)>=2
としたときの右辺は定数
かつ定数になるｘが存在する
したがって
最小値
ということ。
右辺が定数でなかったら（関数）
関数の値を特定の点（a,b)で比較しているだけ
最小値とは関係ない。
[相加相乗平均を使って最小値を求めるときは
右辺が定数になることが重要]

回答No.5

Meowth

高等学校の教科書には

a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で
左辺－右辺＝a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0
と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。

のどこにも最小値なんて言葉はでてきませんよ。

最小値がでてくるのは
次の行
でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。

からです。

たんなる勘違いでしょう

補足

おっしゃる内容はよく理解できました。でも、「2^x+2^(-x)の範囲を求めなさい。」という問題なのですが、相加相乗平均を使って2^x+2^(-x)>=2ってことしか思い浮かばないんですよね。ですから、「相加相乗平均によって最小の値になるの？？」と思って質問したのです。
他に範囲の求め方があれば教えていただきたいのですが？
ちなみに学校が業者に頼んで作ってもらった問題集なので、業者が問題を間違えて作ったってこともありえるかも。

回答No.4

kesexyoki

最小値って、何の最小値ですか？
相加相乗平均は単に2つの平均の求め方である「相加平均」と「相乗平均」の大小を示したものです。
最小値を求める時に度々使うのは事実ですが、相加相乗平均が何かの最小値を表しているわけではありません。

「2√ab>√2ab」が成り立つことと相加平均相乗平均の概念、あまり関係ないでしょう。
というのも、「2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時、相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。
」というあなたの論証ですが、前者は「>=2√ab」ですが後者は「>√2ab」です。つまり、前者からは2^x+2^(-x)の最小値として2がとれることはわかりますが、後者からは「√2より大きい」ということにしかならず、最小値は求められません。そのような数を求めても最小値を求める際に意味はありませんよね？

あくまで、最小値を求める問題で、都合よく「相加平均相乗平均の性質」を適用できる際《つまり計算途中に（a+b）の形が表れa=>0,b>=0のとき》にそれを用いればいいのであって、そうでなければ別の方法で最小値を求めてください。その際にあなたの「例えば」以下のような発想が大切になってくると思いますよ。

以上、拙い文章でしたがお分かりいただけたでしょうか？

お礼

おっしゃる内容はよく理解できました。でも、「2^x+2^(-x)の範囲を求めなさい。」という問題なのですが、相加相乗平均を使って2^x+2^(-x)>=2ってことしか思い浮かばないんですよね。ですから、「相加相乗平均によって最小の値になるの？？」と思って質問したのです。

回答No.2

Tacosan

内容がよくわからないのですが, 単純に「a+b の最小値として 2√(ab) を使うのが妥当か」という質問でしょうか?
確かに任意の a, b ≧ 0 に対して a+b ≧ √(2ab) ですが, a = b = 0 のとき以外は √(2ab) という値はとりませんよね. つまり a+b = 0 という自明な場合を除いて √(2ab) を「最小値」とするのは正しくありません.

お礼

おっしゃるとおりの質問内容です。つまり等号条件が任意の値で成り立たないものっていうのは「最小値」として妥当ではないということですね。

回答No.1

take_5

＞例えば　(a+b)^2>=(√2ab)^2とします。

意味が判り難いが、この式は相加平均・相乗平均とは無関係。
2項の相加平均・相乗平均とは、a＞0、b＞0の時、a＋b≧2√（ab）。但し、等号成立は　a＝bの時。

＞2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時

2^X＝aとすると、a＞0より　2^(-X)＝1/aであるから、相加平均・相乗平均より　a＋1/a≧2　等号はa＝1/aつまりa＝1の時。

お礼

問題の解き方としてはこのようにして解けばいいんですよね。