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相加平均、相乗平均
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(a+b+c)/3≧[3]√(abc) (a>0,b>0,c>0)…(■) 等号はa=b=cの時成立 ([3]√は3乗根を表す記号として使用する) を証明するには a=A^3,b=B^3,c=C^3 (A>0,B>0,C>0) とおいて証明する。 (A^3+B^3+C^3)/3≧ABC…(1) この式を証明すればいい。 つまり両辺に3を掛けた式を証明すればいいですね。 (A^3+B^3+C^3)≧3ABC…(2) (左辺)-(右辺)=(A^3+B^3+C^3)-3ABC =(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA) =(1/2)(A+B+C){2A^2+2B^2+2C^2-2AB-2BC-2CA} =(1/2)(A+B+C){(A^2-2AB+B^2)+(A^2-2AC+C^2)+(B^2-2BC+C^2)} =(1/2)(A+B+C){(A-B)^2+(A-C)^2+(B-C)^2}≧0 等号はA=B=Cのとき成立。 これで(2)が証明されたわけです。 (2)が成立すれば(1)が成立し、さらに(■)が成立することが 示されたことになるでしょう。 (なお、質問するときは自力努力の解答を書いて分からない箇所だけ質問するようにして下さい。まったく分からない場合は質問する資格がありません。そのような質問は削除されてしまいます。)
その他の回答 (1)
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
凸関数を使っての証明方法がある。 0<x<πでsinxは凸関数であると言う重要な性質を知っておくと、将来大変に便利なので、それを念頭においた解法を示そう。 文字は全て正か0とする。 a+b≧2√(ab)、c+d≧2√(cd)が成立する。 これを加えると、a+b+c+d≧2{√(ab)+√(cd)}≧4(4)√(abcd)。‥‥(1) (1)において、3d=a+b+cとすると、途中の計算は省略するが、(a+b+c)^3≧27abc → a+b+c≧3(3)√(abc)。 等号成立は、a=b=cの時。 凸関数については、“凸関数”で検索すると沢山出てくる。
お礼
ありがとうございます。 丁寧に指導していただいたのは、感謝しています。 でも、私のレベルでは、理解できませんでした。 ごめんなさい。
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お礼
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