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相加相乗平均を使った不等式の証明
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これは、4変数の相加相乗平均の不等式というものですね(一般のn変数で成り立ちます)。 (a+b)/2≧(ab)^(1/2) (等号成立:a=b) これが、（2変数の）相加相乗平均の不等式でした。 相加相乗平均の不等式で、積を和に、和を積に変えることが出来るわけですから、まず4つの変数を2個ずつにわけて相加相乗平均を用い、2個に見なせるようにします。それで出来た2個に対してもう1度相加相乗平均の不等式を用いれば良いわけです。 (a+b+c+d)/4=(((a+b)/2)+((c+d)/2))/2 <aとb、cとd、それぞれについて相加相乗平均の不等式を用いて> ≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2) <(ab)^(1/2)と(cd)^(1/2)について相加相乗平均の不等式を用いて> ≧((ab)^(1/2)×(cd)^(1/2))^(1/2) =(abcd)^1/4 となります。等号成立条件は2回使った相加相乗平均の不等式の等号成立条件の共通部分で、a=b=c=dとなります。
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- Tacosan
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左辺を [(a+b)/2 + (c+d)/2]/2 と思ってみよう.
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