微分積分の問題でいくつか解からない問題があります。

質問

微分積分の問題でいくつか解からない問題があります。

(1)x^(1/3) / {x^(1/2)-1} を積分せよ。

(2)log(sinx)は0からπ/2の区間で広義積分が収束することを確かめよ。

(3)logx/(1+x^2)は0から∞の区間で広義積分が収束することを確かめよ。

以上の３つです。

(1)は置換積分だと思うんですが何を置換すればいいのか…x^(1/2)=tでしょうか？

(2)(3)は絶対収束の判定のための定理（「x^λを掛けて有界ならば絶対収束」とかの定理）を使うと思うんですが、条件を満たすλが見つかりません。

誰か解いてください、お願いします

回答No.3

Ae610

ANo.2です。(3)は0になるみたい・・・！

∫(0,∞){logx/(1+x^2)}dx
=∫(0,1){logx/(1+x^2)}dx + ∫(1,∞){logx/(1+x^2)}dx
と分けて考えてみる。
∫(1,∞){logx/(1+x^2)}dxでx=1/tと置いてみるとdx=-dt/t^2
x=1でt=1 , x=∞でt=0
∴∫(1,∞){logx/(1+x^2)}dx=∫(1,0){log(1/t)/(1+(1/t^2))}(-dt/t^2)
=∫(1,0){logt/(1+t^2)}dt
=-∫(0,1){logt/(1+t^2)}dt
よって与式は
∫(0,∞){logx/(1+x^2)}dx = ∫(0,1){logx/(1+x^2)}dx -∫(0,1){logt/(1+t^2)}dt = 0

一応(∞ - ∞)の式でないことを確かめる。
そのため∫(1,∞){logx/(1+x^2)}dxが収束することが言えればよい。
x≧1でlogx/(1+x^2)＜(√x)/x^2=x^(-3/2)だから
∫(1,∞){logx/(1+x^2)}dx＜∫(1,∞)x^(-3/2)dx=2

よって∫(0,∞){logx/(1+x^2)}dx は収束して値は0

回答No.2

Ae610

3)のアドバイス！

収束の事実が分かればよい・・・・と言うことであれば、上側を既知の積分で押さえ込む。
（0,∞）でlogx/(1+x^2)＜log(1+x^2)/(1+x^2)
よって
∫（0,∞）{logx/(1+x^2)}dx＜∫（0,∞）{log(1+x^2)/(1+x^2)}=πlog2
∴∫（0,∞）{logx/(1+x^2)}dxは収束

回答No.1

info22_

(1)だけ
x=t^6で置換して部分分数展開すれば簡単に積分できる

I=∫x^(1/3) / {x^(1/2)-1}dx =∫6t^7/(t^3-1) dt
=∫{6t^4+6t+2/(t-1)+2(2t+1)/(t^2+t+1)-6t/(t^2+t+1)}dt
=(6/5)t^5+3t^2+2log|t-1|+2log(t^2+t+1)-6∫t/{(t+1/2)^2+(3/4)}dt
最後の項の積分は t+1/2=uと置換して積分すれば
I1=-6∫{u-(1/2)}/{u^2+(√3/2)^2}du=3∫1/{u^2+(√3/2)^2}du-6∫u/{u^2+(√3/2)^2}du
=2√3tan^-1(2u/√3)-3log{u^2+(√3/2)^2}+C
後は置換した変数を元の変数に置きかえるだけ
I=(6/5)t^5+3t^2+2log|t-1|-log(t^2+t+1)+2√3tan^-1{(2t+1)/√3}+C
さらに t=x^(1/6)を代入すれば良いでしょう。

お礼

ありがとうございます！
(1)は解けました
(2)も自力で解けました

です(3)だけはどうしても解けません
info22_さん、解けませんか？