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数学の問題で分からないところがあります。

数学の問題で分からないところがあります。 こんにちは。見て下さりありがとうございます。(*^_^*) 積分の問題なのですが、解答に x+√(x^2+a^2)=t とおく。 √(x^2+a^2)=t-x=(t^2+a^2)/2t またdx/dt=(t^2+a^2)/2t^2 と書いてあります。 私は、まず √(x^2+a^2)=t-x=(t^2+a^2)/2t となる理由も分かりません。 その後の微分も良く分かりません。 どなたか、教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。

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  • ベストアンサー
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)
回答No.1

確かに、いきなりこの変形は不親切かな。 下準備として少し計算が必要です。   x +√(x^2+a^2) = t   √(x^2+a^2) = t-x 両辺二乗して、   x^2+a^2 = (t-x)^2   x^2+a^2 = t^2-2tx+x^2 両辺からx^2を引いて、   a^2 = t^2-2tx これをxについて解くと   2tx = t^2-a^2   x = (t^2-a^2)/(2t) ここから、質問の式変形に戻ります。   √(x^2+a^2) = t-x = t-(t^2-a^2)/(2t) 右辺を通分して整理すると、   √(x^2+a^2) = (t^2+a^2)/(2t) また、最初に計算したように   x = (t^2-a^2)/(2t) ですから、商の微分法を思い出して両辺をtで微分すると   dx/dt = (2t*2t-2*(t^2-a^2))/((2t)^2)      = (t^2+a^2)/(2t^2) となります。 式変形自体は基本的なものばかりなので、流れさえ分かれば後は落ち着いて計算すれば大丈夫かと思います。

CHIKAppoi
質問者

お礼

丁寧に解説して下さり、ありがとうございます。理解することができました。

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その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

その模範解答は、積分の結果がわかった後で 説明が短くて済むようにデッチ上げたものです。 そうでなきゃ、そんな置換は普通思いつきません。 被積分関数の中に √(x↑2+a↑2) を見たときの 対処法のひとつとして、x = a tanθ と置換する ことを覚えておくと、応用範囲が広いです。 tan への置換を使って解いてみた後で、 もう一度、その模範解答を読んでみると、 その t が何を意味しているのかが 見えてくるかも知れません。

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