- ベストアンサー
数学3の問題について
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y=xt^2 y’=(dy/dt)*(dt/dx)=(t^2+2xt)*t’ とやってはいけません。なぜならlogx=tより、xは定数ではないからです。 やるなら、logx=tよりx=e^tなので、 y'=(dy/dt)*(dt/dx) =(e^t*t^2)'*(1/x) ={(e^t)'*(t^2)+e^t*(t^2)'}*(1/x) =e^t*(t^2+2t)*1/x =x*{(logx)^2+2logx}*1/x =(logx)^2 + 2logx です。
その他の回答 (2)
- fukuda-h
- ベストアンサー率47% (91/193)
>logx=tと置いて、 >y=xt^2 ここがいけませんね。 単純に積の微分の公式をあてはめて微分です y=x(logx)^2 y'=(x)'(logx)^2+x{(logx)^2 }' =(logx)^2 +x{2(logx)(1/x)} でしょうね。xと1/xが出てきて約分されてしまいますね。
お礼
模範解答もその解き方でした。 今後はその解き方で行きたいと思います。 有難うございました。
- c_850871
- ベストアンサー率53% (49/91)
まず,logx=tとおいたのならば, すべてtに変えないといけません. >y'=(dy/dt)*(dt/dx)=(t^2+2xt)*t’ ここが間違っています. 正しくは(tは使いませんが) y'=(logx)^2*d/dx(x)+x*d/dx((logx)^2) =(logx)^2+x*(2*logx*(1/x)) =(logx)^2 + 2logx となります.
お礼
分かりました。 回答頂き有難うございました。
関連するQ&A
- 微分の問題が分からなくて困っています。どうかどのあたりがおかしいのかを
微分の問題が分からなくて困っています。どうかどのあたりがおかしいのかをご指導お願いします。 先生が答えを全く渡す気配がなくて、どれが正解かすらも分からなくて困っています。 (1)y=xsin^2(2x) (2)logy=xloga (1)、(2)ともは途中までは出来ているとは思いますので解答を載せます。 (1) t=sin2xとおいて、 y(x,t)=xt^2 dy/dt・dt/dx =t^2+2xt・(t') =sin^2(2x)+2xsin(2x)・(2xcos(2x)) =sin^2(2x)+4xsin2xcos2x (2) 1/y・dy/dx=loga dy/dx=yloga (*yの求め方が分かりません。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 微分の問題
xy=2について、dy/dxをx,yを用いて表せ。という問題なのですが <自分の答え> y≠0のとき、 x=2/y この両辺をxで微分すると 1=(d/dx)(2/y) 1=(dy/dx)(-2/y^2) ∴dy/dx=-(y^2/2) <模範解答> 両辺をxで微分すると y+(dy/dx)x=0 よって、x≠0のとき dy/dx=-(y/x) というように解答が違います。 でもxy=2から、x≠0のときy=2/xであることは明らかですから、 -(y^2/2)=-{y(2/x)/2}=-(y/x) となりますよね? この場合<自分の答え>も正解ですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の基本的な質問
今微分について疑問に思ったのですが、 dy/dxって分数みたいに掛けたり割ったりすることが出来るんでしょうか? 例えば dy/dx=x^3/y だとすると両辺にdxをかけたりして ydy=x^3 dx になって ydy-x^3 dx=0 となり完全微分となり、yについて解くみたいなやり方がありますよね? 後、よく教科書で、dy/dt*dt/dx=dy/dxみたいな感じになってるんですが、 例えば y=x^2 と y=t^5 があったとして、 dy/dx=2x dy/dt=t^5 ですよね? dy/dtを分数みたいに(dy/dt)^-1にして dt/dy=(t^5)^-1 で dy/dx*dt/dy をするとdyが消えますから dt/dx=(2x)*(t^5)^-1 =2x/(t^5) となります でも、元の式に帰ると y=x^2 y=t^5 ですから t^5=x^2になって dt/dx=2x/(t^5)=2x/(x^2)=2/x になります。 しかし、最初の式で t=(x^2)^(1/5) というようにしてから微分すると dt/dx=2/5(x^-3/5) になります。 ということはdx/dyを分数として考えると矛盾が起こるんじゃないでしょうか? ということは教科書は間違っているんでしょうか?;; 誰か助けてください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていた
微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていただきたいです。できれば途中式、解説などもお願いいたします 【1】、【2】微分方程式の一般解を求めよ 【1】 dy/dx+(x-2)/y=0 【2】 dy/dx+1/x*y(x)=e^2x 【3】、【4】微分方程式を求めよ 【3】 d^2y/dt^2 + dy/dt - 2y(t) = sin t 【y(0)=0、 y'(0)=0】 【4】 dq(t)/dt + q(t)/RC = sin 2t 【q(0)=0】
- 締切済み
- 数学・算数
- x^(1/2)=tとおいてxについて微分はNG?
y={x^(1/2)}^x ただし、(x>0) yを微分しろ という問題がありました。 対数をとって、両辺をxで微分すると y’=(1/2)x^(x/2)(logx + 1) と答えが出ます。この解法なら意味がわかります。 答が正しいのはわかっているのですが自然対数を取れず、 自分はx^(1/2)=tとおいて、 dt/dx=1/2x^(1/2)として、 y’= (t^x)logt(dt/dx) としました。 結局、y’=x^(x/2)(1/2)logx*(t^x*logt) で、答えが合いませんでした。 ここで思ったのがこういう場合、x^(1/2)=tとおいてxについて微分するのはだめなんでしょうか? 自分で考えたこととしては、xを含む関数でおいた場合、置き換えたあとにxが残っているとこの解法は使えないのかなと思いました。この理解で大丈夫でしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二階の全微分について
物理でxyの座標を極座標に変換し加速度を計算するなかで、2階の全微分に困っています。あまり、微分積分は慣れていないので、丁寧に教えていただけると助かります。 http://okwave.jp/qa/q2707943.html でも、同じような質問があります。 一階の全微分はわかりますが、2階の全微分で項が増えるのがわかりません。 具体的には、 Z=f(X,Y), X=g(t) Y=h(t)で、 dZ/dt=(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt まではよくわかり、これを二階にするときはまず、第1項目(∂Z/∂x)dx/dtが {∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dx/dt}dy/dt となるだと思うのですが、(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)という項も加わるようです。詳しくその考え方を教えていただけますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数の2次導関数のことです。
2回連続微分可能で、z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)の関係があって、このときのzのtに関する2次導関数を求めるという問題なんですが、1次の導関数は dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt) だと思うんですが、2次の場合は d^2z/dt^2=(d/dt)((∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)) となって、それぞれの項を積の微分法で解けばいいのでしょうか?できたらその形も教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式についてです
dy/dx = -y の微分方程式で ,x=10tと置いた場合. dx/dt = 10 ∴dt/dx = 1/10 を使って, dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) から, -y =(dy/dt)(1/10) ∴dy/dt = -10y とするのはいいのでしょうか. 1次近似なので,x=10t は分割が小さくなっただけのような気がするんですけど.
- 締切済み
- 数学・算数
- 数(3)の微分についてです。
媒介変数で表された関数の微分法についてなのですが、教科書に下のような説明が書いてあります。 x=f(t),y=g(t)と表され、x,yがtについて微分可能のとき 合成関数の微分法により dy/dx=dy/dt*dt/dx ・・・(1) したがって dy/dx=dy/dt*1/dx/dy=dy/dt/dx/dt=g`(t)/f`(t) (1)の合成関数の微分っていうのはyがtで微分できて、tがxで微分できるときに使えるんですよね?てことはyがtの関数で、tはxの関数で無ければならないと思うのですが、最初に与えられているのはyはtの関数、xはtの関数ってことだけで、tはxの関数であるとは限らないと思うのです。なので上の証明はx=f(t)の逆関数が存在する時しか成り立たないのではないのでしょうか?何故いつも成り立つのかがわかりません。 初歩的な質問ですみませんm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数微分の問題です
===================================================== 【問題】 (1) x=a(t-sin t) y=a(1-cos t) (a>0) (0 <= t <= 2π) dy/dxを求めよ。 (2) y=f(x)=sin(α arcsin x) f^(n) (0)を求めよ。 ↑ f(0)をn回微分したもの ======================================================== という問題で、(1)はなんとか解けたと思うのですが、(2)が行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。 =========================================================== 【自分の回答】 (1) dx/dt=a(1-cos t),dy/dt=a*sin t ∴dy/dx=(a*sin t)/{a(1-cos t)}=(sin t) /(1-cos t) (2) y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2) ∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1 両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、 y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0 ⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0 **************************************************** ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、 f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。 **************************************************** ===========================================================
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
よく分かりました。 回答有難うございました。