微分の基本的な質問

質問

今微分について疑問に思ったのですが、
dy/dxって分数みたいに掛けたり割ったりすることが出来るんでしょうか？
例えば
dy/dx=x^3/y
だとすると両辺にdxをかけたりして
ydy=x^3 dx
になって
ydy-x^3 dx=0
となり完全微分となり、yについて解くみたいなやり方がありますよね？

後、よく教科書で、dy/dt*dt/dx=dy/dxみたいな感じになってるんですが、

例えば
y=x^2
と
y=t^5

があったとして、
dy/dx=2x
dy/dt=t^5
ですよね？

dy/dtを分数みたいに(dy/dt)^-1にして
dt/dy=(t^5)^-1
で
dy/dx*dt/dy　をするとdyが消えますから
dt/dx=(2x)*(t^5)^-1
=2x/(t^5)
となります

でも、元の式に帰ると
y=x^2
y=t^5
ですから
t^5=x^2になって
dt/dx=2x/(t^5)=2x/(x^2)=2/x
になります。

しかし、最初の式で
t=(x^2)^(1/5)
というようにしてから微分すると
dt/dx=2/5(x^-3/5)

になります。

ということはdx/dyを分数として考えると矛盾が起こるんじゃないでしょうか？

ということは教科書は間違っているんでしょうか？；；
誰か助けてください！！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1さんが指摘されているように単なる質問者さんのケアレスミスです。
> y=t^5
と置きながら
> dy/dt=t^5
> ですよね？
と矛盾していますね。

「dt/dx」と「dx/dt」
が逆数の関係と言えるのは
t=f(x) について、xを独立変数とみなした時従属変数tが一意に定まり（１：１に対応していること）、xの定義域でf(x)が微分可能であること。
かつ
x=g(t)の形に変形可能（つまり一価関数）であり、tを独立変数とみなしたとき従属変数xは一意に定まり（１：１に対応していることする）、tの定義域でg(t)が微分可能であること。
という条件が満たされていることが条件です。

なので、t,xの変域（値域）内でf(x),g(t)が連続で互いに一価関数の関係にないといけません。
たとえば
x=t(t-1)(t+1)
のような関係式では、xに対してtが一意に定まりませんので1:1の関係にありません（互いに一価関数の関係ではありません。）
つまりdx/dtは定義可能ですが、dt/dxが一意に定まらず定義できません。
なのでdx/dt=(dt/dx)^(-1)が成立しません。
t,xの変域（値域）を-1<t<1,-(2/9)√3<x<(2/9)√3に制限すれば
dx/dt=(dt/dx)^(-1)
の関係が成立することは言うまでもありません。

>dy/dxって分数みたいに掛けたり割ったりすることが出来るんでしょうか？
成立しますが、成立するための条件が満たされていればの話です。
それぞれの変数がとりうる範囲で、互いに微分可能でかつ互いに一価関数の関係（一価関数の関係に無ければ微分が一意に定まらず定義できません）にあることが必要です。

>dy/dx=x^3/y
を考える際はy=0を除かないとdy/dxが存在しません。
なので
>ydy=x^3 dx
とした時　y≠0
の条件がつきます。
>ydy-x^3 dx=0
とした場合 y≠0の条件下で成り立ちます。
この条件下で解くことになります。
(1/2)y^2-(1/4)x^4=C
y^2=C+(1/2)x^4(ただし,y≠0)

>y=x^2とy=t^5
dy/dt,dt/dy,dy/dx,dt/dx
を扱う場合、それぞれの微分可能性（x,y,tが互いに一価関数の関係にあり、相互に微分が一意に存在すること）が必要です。
その為には「t=0,y=0,x=0」の所は除外して、「y>0,t>0,x≠0」の条件下で扱わないといけませんね。

お礼

なるほど。。
つまり、連続していて、一意だった場合にのみ使えるということでしょうか。
でもやはり、ちゃんとその条件が満たされていればdyとかdyとかが掛けられるんですね。。。
私は、dxとか、単なる小さなxの値としか考えてなかったんですが、
その小さいとかそれは一定じゃないと思ってました。
つまりdy/dxの時のdxとdz/dxの時のdxは必ずしも同じではないと。
まだ分からないのですが

dy/dx=1/y
だったときに
ydxを両辺に掛けて

ydy=dxの形にして

積分して
y^2/2=x+C

といった式を今習っているのですが、
どうしてdyやdxが来ると積分できるのかが分かりません；；
dxとかdyって単なる小さい値なんじゃないんですか？？
その小さな値をつけることによって何故積分とかいろんなことが出来るのか訳が分かりません；；

でも、丁寧に説明してくださってありがとうございました！
とりあえず、ちゃんと掛けたり割ったりすることが出来ると自信を少し持つことが出来ました。

回答No.5

arrysthmia

dy/dx というカタマリでなくて、dx や dy に個別に意味を持たせることは可能です。
その場合、dx や dy は、接平面の座標変数であって、
「単なる小さい値なんじゃない」どころか、もはや「小さい値」でさえありません。

例えば、y = x^2 + 5 の x = 1 での接線は y - 6 = 2 (x - 1) ですが、
この式の x には、1 に近い値だけでなく、任意の実数を代入することができます。
x - 1 や y - 1 の替わりに dx とか dy とか書けば、接線の式は dy = 2 dx となります。
dy/dx = 2 と書くほうが、見慣れていると思いますが。

こういった考え方に違和感があれば、

＞ ydy=dxの形にして
＞ 積分して
＞ y^2/2=x+C

などは、y・dy/dx = 1 を x で積分して y^2/2 = x + C　…の単なる略記と思って
おけば良いでしょう。

お礼

やはり可能ですか。
皆接線の式がdy=2dxとかけることも全然知りませんでした。
自分も単なる略記で普段は考えてたのですが、微分式というクラスを取ってしまい、段々意味が不明になってきたんで、そもそも微分とか積分の定義を知っておかないとと思ったんです。
一番不明だったのがdyとかdxの定義だったんですが、今は段々分かってきました。
皆さんのおかげです。ありがとうございました！

回答No.4

hitokotonusi

＞でdy/dtのほうのdtとdt/dxの方のdtが、何故同じだと言えるのかが分からないんです。。

手短に言うと互いに無関係じゃないからです。
質問文では

＞dy/dx*dt/dy　をするとdyが消えますから

なのでコメントにあるtではなくてyが間に入るように考えることにします。
質問文にある

＞y=x^2
＞y=t^5

という関係があるとするとｔがt+Δtになるとyが変化し、
変化分ΔyはΔtで決まります。

Δy = y(t+Δt) - y(t) (1)

一方、yが変化すると

＞y=x^2

を満足させるためにxも変化しますが、このｘの変化はyの変化Δyで決まります。

Δx = x(y+Δy) - x(y) (2)

一方で、このΔyはΔtによって決まりますから、ΔxもΔtで決まることになります。

Δx = x(y+Δy) - x(y) = x( y(t+Δt) ) - x( y(t) )
= x(t+Δt) - x(t) (3)

つまり、ここでのx,y,tの変化は互に関係があって

Δt → Δy → Δx

という流れで決まることになります。

Δt → Δy と Δy → Δx

と別々に考えた場合でも、tとxを結びつけた場合にはtの変化がyの変化を引き起こし、
そのyの変化でxが変化する分けですから、間に入るΔyは同じものでなければなりません。

Δt ,Δy, Δx→0の極限が微分ですから、dt, dy, dxでも同じです。

お礼

なるほど！

Δx = x(y+Δy) - x(y) = x( y(t+Δt) ) - x( y(t) )
= x(t+Δt) - x(t)

このようにして考えると、よく理解できます。
少し難しいですが、感覚的には殆どわかったつもりです。
ありがとうございました！

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足について

所詮、微分のdy/dxは
xの微小な増加に対する増分Δxに対してyの変化分Δyの比（変化率）
「Δy/Δx」のΔx→0の極限です。
なので、「dy/dx」の塊としての記号は、比の極限（導関数、微分係数、変化率）であると同時に、分子と分母をばらした場合のdxとdyは、個別に増分Δxと変化分Δyのもつ微小な増分（微小な変化分、微小な幅）といった意味合いも持っています。
このため、
ydy=1dx
の左辺は
yに微小な幅dyを掛けた長方形を表し
右辺は
高さ1に微小な幅dxをあわせた長方形を表します。
これらの長方形をそれぞれのx,yの範囲にわたって加え合わせれば、面積の積分になります（積分の定義を思い出して下さい）。

したがって、
>dxとかdyって単なる小さい値なんじゃないんですか？？
この考え方で良いと思います。
あとは
点(x,y)における微小な変化量の比が微分で
点(x,y)におけるdxやdyに高さを掛けて微小長方形を作り、それらの長方形をxやyの範囲で加えあわせればその範囲の面積になり、それがすなわち積分ということです。

z=f(x,y)のような独立変数が２つ存在する関数では
xの増分Δxに対するzの増分Δz(x)と
yの増分Δyに対するzの増分Δz(y)と
がありますので
Δz=Δx+Δy
なので、
xの増分Δxに対する変化率（Δyはゼロとする）
Δz/Δxの極限をdz/dxでは無く、∂z/∂xまたはz_x で表します。
同様に
yの増分Δyに対する変化率（Δxはゼロとする）
Δz/Δyの極限をdz/dyでは無く、∂z/∂yまたはz_y で表します。
これらを偏微分（偏導関数、偏微係数）と言います。
すなわち、
∂z/∂xまたはz_xはdy=0(ｙ=一定)の元での微係数であり
∂z/∂yまたはz_yはdx=0(x=一定)の元での微係数です。
これを使えば
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy
で表されます。
この左辺のdzのことを全微分と言います。

少し難しかったかな。

dx,dy,dz,dtなどはそれぞれ x,y,z,tに対する微小な増分（変化分）ですので、その微小な増分がそれぞれの x,y,z,tの所で定義出来ることが、その点における積分や微分が出来る条件になってきます。

お礼

なるほど、やっと何故z=f(x,y)の積分で dz=dx+dyなのかが分かりました。
dy=1dxで係数が高さでの長方形で考えるといった発想はすごく分かりやすかったです！
此間全微分を含めた試験があったのですが、これを見て、ちゃんと解けたと思います！
ありがとうございました。

回答No.1

hitokotonusi

＞dy/dt=t^5
＞ですよね？

これが違います。dy/dt = 5t^4ですね。したがって、

dt/dx = 2x/ (5t^4)

元の関係はx^2 = t^5なので2x dx = 5 t^4 dtで矛盾はありません。

＞t=(x^2)^(1/5)

を微分すると

dt/dx = (1/5) (x^2)^(1/5 - 1) 2x = (2x/5) (x^2)^(-4/5)
= (2x/5) [x^(2/5)]^(-4)

ここでt=(x^2)^(1/5)= x^(2/5)を使うと

dt/dx = (2x/5) [x^(2/5)]^(-4) = 2x/5 t^(-4) = 2x/(5t^4)

何の矛盾もありませんね。

お礼

本当ですね。
私の計算ミスでした；；
確かになんの矛盾も無いんですが、dy/dt*dt/dx
でdy/dtのほうのdtとdt/dxの方のdtが、何故同じだと言えるのかが分からないんです。。
というのもdtというのは私の解釈だと、小さい値であって、それが１かもしれないし0.0000001かもしれないような抽象的なものだと思ってるんですが。。
だからdxが他のdxと違ったりすることは無いんでしょうか？？
むしろdxってなんなんでしょうか；；