- 締切済み
tで微分
x^2+y^2=100の両辺をtで微分すると、 2ｘ・ｄｘ/ｄｔ＋2ｙ・ｄｙ/ｄｔ＝0 これは、ｄ/ｄｔ・ｘ^2=d/dx・x^2・dx/dt ｄ/ｄｔ・y^2=d/dy・y^2・dy/dtから成り立つものでしょうか。 間違っていたら、正しい計算を教えてください。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- shintaro-2
- ベストアンサー率36% (2266/6244)
>これは、ｄ/ｄｔ・ｘ^2=d/dx・x^2・dx/dt >ｄ/ｄｔ・y^2=d/dy・y^2・dy/dtから成り立つものでしょうか。 というか、 合成関数の微分公式である ［f(x)・g(x)］’＝f'(x)・g(x)＋f(x)・g'(x) からくるものでは？ ｘをtで微分すれば、dx/dtですから x^2=x・xで （x^2）/dt＝dx/dt・ｘ＋x・dx/dt＝２ｘdx/dt となります ｙ^2も同様ですから ２ｘdx/dt＋２ｙdｙ/dt となります
- bran111
- ベストアンサー率49% (512/1037)
そのとおりです。 x,yともtの関数で u=x^2 v=y^2 とするとu,vはtの関数x,yの関数（関数の関数）になるので du/dt=(du/dx)(dx/dt)=2xdx/dt dv/dt=(dv/dy)(dy/dt)=2ydy/dt ということです。
お礼
お返事ありがとうございます。
関連するQ&A
- 微分の基本的な質問
今微分について疑問に思ったのですが、 dy/dxって分数みたいに掛けたり割ったりすることが出来るんでしょうか？ 例えば dy/dx=x^3/y だとすると両辺にdxをかけたりして ydy=x^3 dx になって ydy-x^3 dx=0 となり完全微分となり、yについて解くみたいなやり方がありますよね？ 後、よく教科書で、dy/dt*dt/dx=dy/dxみたいな感じになってるんですが、 例えば y=x^2 と y=t^5 があったとして、 dy/dx=2x dy/dt=t^5 ですよね？ dy/dtを分数みたいに(dy/dt)^-1にして dt/dy=(t^5)^-1 で dy/dx*dt/dy をするとdyが消えますから dt/dx=(2x)*(t^5)^-1 =2x/(t^5) となります でも、元の式に帰ると y=x^2 y=t^5 ですから t^5=x^2になって dt/dx=2x/(t^5)=2x/(x^2)=2/x になります。 しかし、最初の式で t=(x^2)^(1/5) というようにしてから微分すると dt/dx=2/5(x^-3/5) になります。 ということはdx/dyを分数として考えると矛盾が起こるんじゃないでしょうか？ ということは教科書は間違っているんでしょうか？；； 誰か助けてください！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の微分
微分の微分は、 d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x' と習ったのですが、 どうして y'' を x'で割らなければいけないのですか？ y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、 と思うのですが。。。 例えば、x= sin t y=t^2+7t+3 があります。 dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、 y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。 それで、さらに、それを微分したいのですが、 その時に、私は {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。 それで、答えは {2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが 不思議でたまりません。 解説を宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 微分
微分について、2点わからないことがあるので質問します。 問題1. x^2-y^2=a^2のとき、d^2/y/dx^2をx,yを用いてあらわせ。ただし、aは定数とする。 x^2-y^2=a^2の両辺をxで微分して、2x-2ydy/dx=0より、dy/dx＝x/y(y≠0)さらに d^2/y/dx^2=(d/dx)*(dy/dx)・・・(1)として計算することには納得できました。しかし (1)で{1*y-x*(dy/dx)}/y^2 となっているのは、ｙをｘの関数 ｙ＝±√(x^2-a^2)として書けるからでしょうか。ｙが定数にならない理由を教えてください。 問題2.(dy/dx)を求めよ、ただしaは0でない定数とする。 x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)のとき、 dx/dt=atcost,dy/dt=atsint よって dy/dx=sint/costなぜ,tantにならないのでしょうか。ほかの問題の答えでも、dy/dx=-sinθ/cosθでした。tanθになおさない理由をおしえてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分についての質問です
x^2+y^2=1について(d^2)y/dx^2をもとめよ なんですが 解答は 2x+2ydy/dx=0 dｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると (d^2)y/dx^2=(ｘｙ'-x'y)/y^2=-1/y^3 だったんですが 私はdｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると （d/dx）・（dｙ/dx）＝（d/dx）-x/y で(d^2)y/dx^2＝-１/yだと思うんですが ｙについて微分しないと(ｘｙ'-x'y)/y^2にならないとおもうんですがどうしてこのようになるんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式についてです
dy/dx = -y の微分方程式で ,x=10tと置いた場合． dx/dt = 10 ∴dt/dx = 1/10 を使って， dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) から， -y =(dy/dt)(1/10) ∴dy/dt = -10y とするのはいいのでしょうか． 1次近似なので，x=10t は分割が小さくなっただけのような気がするんですけど．
- 締切済み
- 数学・算数
- 二階の全微分について
物理でxyの座標を極座標に変換し加速度を計算するなかで、2階の全微分に困っています。あまり、微分積分は慣れていないので、丁寧に教えていただけると助かります。 http://okwave.jp/qa/q2707943.html でも、同じような質問があります。 一階の全微分はわかりますが、2階の全微分で項が増えるのがわかりません。 具体的には、 Z=f(X,Y), X=g(t) Y=h(t)で、 dZ/dt＝(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt まではよくわかり、これを二階にするときはまず、第1項目(∂Z/∂x)dx/dtが {∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dx/dt}dy/dt となるだと思うのですが、(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)という項も加わるようです。詳しくその考え方を教えていただけますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数(3)の微分についてです。
媒介変数で表された関数の微分法についてなのですが、教科書に下のような説明が書いてあります。 x=f(t),y=g(t)と表され、x,yがtについて微分可能のとき 合成関数の微分法により dy/dx＝dy/dt*dt/dx ・・・(1) したがって dy/dx＝dy/dt*1／dx/dy＝dy/dt／dx/dt＝g`(t)/f`(t) (1)の合成関数の微分っていうのはyがtで微分できて、tがxで微分できるときに使えるんですよね？てことはyがtの関数で、tはxの関数で無ければならないと思うのですが、最初に与えられているのはyはtの関数、xはtの関数ってことだけで、tはxの関数であるとは限らないと思うのです。なので上の証明はx=f(t)の逆関数が存在する時しか成り立たないのではないのでしょうか？何故いつも成り立つのかがわかりません。 初歩的な質問ですみませんm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題(４問)がわからないので教えていた
微分方程式の問題(４問)がわからないので教えていただきたいです。できれば途中式、解説などもお願いいたします 【1】、【2】微分方程式の一般解を求めよ 【1】 dy/dx+(x-2)/y=0 【2】 dy/dx+1/x*y(x)=e^2x 【3】、【4】微分方程式を求めよ 【3】 ｄ＾２ｙ/ｄｔ＾２ + ｄｙ/ｄｔ - ２ｙ（t) ＝ sin t 【ｙ（0）＝０、 y'（0）＝０】 【４】 ｄｑ(ｔ)/ｄｔ ＋ ｑ(ｔ)/RC ＝ sin 2t 【q(0)=0】
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
お返事ありがとうございます。