高校数学の問題でわからなかったので、質問しました。

質問

高校数学の問題でわからなかったので、質問しました。

平面上を動く点Qは、時刻 ｔ において、座標（cos 2t, 4sin t）である。
点Qが、t=0 から t=πまで動いたとき、次のものを a で表せ。
ただし、∫√(1+ x^2) dx = a （インテグラルの範囲は、x=0 から x=1）

○　点Qが動いた道のり

この問題の答えは、8a なのですが、うまく導けません。
平面の道のりは、以下の公式があります。
点Qの時刻ｔにおける座標を（x，y）、時刻をt=αからt=βまでの道のりLは、
L=∫√｛（dx/dt)^2 + (dy/dt)^2｝dt　（インテグラルの範囲はt=αからt=β）

よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

補足ありがとうございます。
少しコメントを入れておきますね。

＞cos(t)=dx/dt　となり、dt=(1/cos(t))dx　であるから、
cos(t)dt＝ dxとしておくと、もうちょｔとスマートですよね。

＞ 4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+(sin(t))^2｝dt
＞ =4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+x^2｝*(1/cos(t)) dx
＞ =4*2∫[0～1] √(1+x^2) dx
＞ =8∫[0～1] √(1+x^2) dx

√の中は常に正ですが、cos(t)は tの値によって正負が変わりますよね。
具体的には、
0≦ t≦ π/2のとき、cos(t)≧ 0
π/2≦ t≦ πのとき、cos(t)≦ 0

となります。
そして、被積分関数には |cos(t)|があるので、
積分区間である tの範囲によって符号が変わりますね。
これを的確に表すのであれば、

4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+(sin(t))^2｝dt
＝ 4∫[0～π/2] cos(t)*√{ 1+(sin(t))^2 }dt＋ 4∫[π/2～π] {-cos(t)}*√{1+(sin(t))^2 }dt
＝ 4∫[0～1] √(1+ x^2) dx－ 4∫[1～0] √(1+ x^2) dx
＝ 2* 4∫[0～1] √(1+ x^2) dx
＝ 8a

絶対値からの負号と、積分区間の入れ替えからの負号とが打ち消すところもポイントです。
先の計算式だけだと、○はちょっと厳しいですね。＾＾；

お礼

ご親切にどうもありがとうございました。
実は、最後の詰めが私もちょっと自信がなかったのです。
cos(t)を正と負で分けて考えるところは、とてもすっきりしました。
また、そもそも、公式に当てはめてから、sin(t)=x とおくということが考えつかなくて、ずーっと悩んでいたのです。こんなに簡単に解答が得られて、本当にうれしいです。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

公式どおりにあてはめれば、求めたい長さは
∫[0～π] |cos(t)|* √{ 1+(sin(t))^2 } dt

となります。
ここで、絶対値の記号が付いていることと積分区間がポイントです。

sin(t)＝ xと置いて計算するのですが、0≦ x≦ 1となるのは
0≦ t≦ π/2のときと　π/2≦ t≦ πのときに分けられます。
このことを考慮すると、「最後の 2倍」が導出されます。

少し慎重さが求められる計算ですね。

お礼

どうもありがとうございました。
私が理解しているかどうか確認させていただきますと・・・
まず、公式に当てはめて、
∫[0～π] √｛(-2sin(2t))^2+(4cos(t))^2｝dt
=∫[0～π] √｛4(2sin(t)cos(t))^2+16(cos(t))^2｝dt
=∫[0～π] √｛16(sin(t))^2(cos(t))^2+16(cos(t))^2｝dt
=∫[0～π] √｛16(cos(t))^2*(1+(sin(t))^2)｝dt
=4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+(sin(t))^2｝dt
ここで、sin(t)=x とおくと、両辺をtで微分して、
cos(t)=dx/dt　となり、
dt=(1/cos(t))dx　であるから、
4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+(sin(t))^2｝dt
=4∫[0～π] |cos(t)|*√｛1+x^2｝*(1/cos(t)) dx
=4*2∫[0～1] √(1+x^2) dx
=8∫[0～1] √(1+x^2) dx
ということでよろしいでしょうか。