積分の問題

質問

積分の問題

　ρ(x)={ e^(-1/(1-x^2)) |x| < 1
　　　　　{ 0 |x|≧1

という関数の積分　　∫[-∞,∞] ρ(x)dx

を求めたいのですが、置換等をしてもうまくいきません。
これは留数定理を使って解くのでしょうか？
　どなたかヒントを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

解析的にはおそらく解けないでしょう（つまり初等関数では積分結果が表せないということ）。
解決するにはマクローリン展開を利用すると良いでしょう。
ρ(x)をマクローリン展開してべき乗級数にしてそれを積分すれば級数の形で積分結果が得られます。
積分は
∫[-∞,∞] ρ(x)dx=∫[-1,1] { e^(-1/(1-x^2))} dx
となりますから、
計算は被積分関数をマクローリン展開して、定積分するだけです。
e^(-1/(1-x^2))=(1/e){1-x^2-(1/2)x^4-(1/6)x^6+(1/24)x^8+(19/120)x^10 + ...
この[0,1]区間での積分は簡単ですからできますね。

積分結果は「WolframAlpha」サイトで計算してくれます。
「integrate(exp(-1/(1-x^2)),x=-1..1)」と入力すれば図のようになります。
∫[-1,1] { e^(-1/(1-x^2))} dx＝0.4439938...

お礼

大変遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。
マクローリン展開で計算とは、思いつきませんでした。
ありがとうございます。やはり、原始関数を求めるのは、
無理っぽいですね。勉強になりました。ありがとうございました。