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積分
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x=tan(θ)とおくと半角の公式から、 ∫[θ=0~π/2]cos^4(θ)dθ=(1/4)∫[θ=0~π/2](3/2)+2cos(2θ)+cos(4θ)/2dθ=3π/16 かな。
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- oyaoya65
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1/(1+z^2)^3をz=iの周りのローラン展開して、z=iにおける留数を求めると -(3/16)i となります。 元の積分Iを複素積分に直すと I=(1/2)∫[-∞,∞] dx/(x^2+1)^3 ← 積分範囲を[-∞,∞]とすると積分値が2倍になるので(1/2)倍が付く。 =(1/2)∫_c dz/(z^2+1)^3, cは|z-i|<1 ← 周回積分経路Cに沿った複素積分に変換 =(1/2)*2πi*(-3/16)i ← 留数定理、留数はローラン展開から求めたものを使用。 = ... ← あとは自分でできますね。
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