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フェルミの黄金律を求めるときの積分
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∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dxという積分を考えると、 ∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx=1/(1+α^2)となる。・・・(1) (1)はαに関して一様収束するので今、(1)をαに関して積分すると ∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx =∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx =∫[0,α]1/(1+α^2)dα =arctan(α)となる。これをもう一度αに関して積分すると ∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx =∫[0,∞]e^(-x)((1-cosαx)/x^2)dx=∫[0,α]arctan(α)dα =αarctan(α)-1/2・log(1+α^2)・・・(2) x=bx,α=1/bとおいて(2)式に代入すると 1/b・∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=(1/b)・arctan(1/b)-1/2・log(1+(1/b)^2) ∴∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=arctan(1/b)-b/2・log(1+(1/b)^2) b→0の極限をとると ∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx=π/2 ・・・(3) (ロピタルの定理からb/2・log(1+(1/b)^2→0) (3)でxをx=2tおよびx=-2tとして足すと ∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx =∫[0,∞]((1-cos(2t))/t^2)dt =∫[0,∞](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(4) ∫[0,-∞]((1-cos(-2t))/t^2)(-dt) =∫[-∞,0]((1-cos(2t))/t^2)dt =∫[-∞,0](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(5) (4)+(5) =∫[-∞,∞](sin(t)/t)^2dt=π
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