方程式 log_2 x = 1/x は、1＜x＜2 において解を持つこ

質問

方程式　log_2 x = 1/x は、1＜x＜2　において解を持つことを示せ。

解答が略されていて、まったくわかりません。途中式もおしえてください。よろしくお願いします。

回答No.2

niuser · ベストアンサー

1/xを左辺に移項し、f(x)=log_2 x - 1/x とします。
この関数はx > 0で定義され、連続性を持ちます。
１＜ｘ＜２において解を持つということは、言い換えれば１から２の間の実数の中にf(x)=0となるようなxがあるということです。
さらに考えを深めていくと、f(1)とf(2)の符号が逆になっていれば
（例えば、f(1)=-2でf(2)=3）1と2の間にf(x)=0とするようなxが存在することになります。
（グラフを書いてみればわかると思います。）

この問題の場合、
f(1) = log_2 1 -1 = 0 - 1 = -1
f(2) = log_2 2 - 1/2 = 1 - 1/2 = 1/2
となり、f(1) < 0でf(2)>0となるので
log_2 x = 1/xは、１＜ｘ＜２において解をもつということになります。

お礼

ありがとうございました。またお願いします。

回答No.6

kMashiMash

こうしてみてはいかがでしょう。

1<x<2のとき1/xがとる値は、
1＜1/x<1/2
です。

log2x = 2^xで
ｘの範囲が1<x<2のとき、
2<2^x<4となります。

二つの式のとりうる値は
1＜1/x<1/2　、2<2^x<4
なので、接点もなく、解をもちません。

よって、命題は、間違っています。

お礼

お礼が遅れレすみませんでした。ありがとうございました。またよろしくお願いします。

回答No.5

kMashiMash

エクセルやプログラミングを使用して計算してみましたが。ありえないですｗ

問題が間違っていませんか？
それともよくある技術書の理不尽な誤植なのでしょうか？

結果を画像に貼り付けておきます。

お礼

お礼が遅れレすみませんでした。ありがとうございました。またよろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

グラフの印象に頼るよりも、
「中間値定理」を使うのが
確実でしょう。
No.2 の f(x) が使えると思います。

お礼

いつもありがとうございます。お礼が遅れてすみませんでした。またよろしくお願いします。

回答No.3

htms42

グラフで見当をつけるのがいいでしょう。
y１=ｌｏｇ(n)x
のグラフと
ｙ２＝１／ｘ
のグラフが１＜ｘ＜２の範囲に交点を持つことを確かめればいいです。
どちらのグラフもすぐに書くことができるはずです。
ｌｏｇのグラフは底の値によらず（１，０）を通ります。
ｎ＝２であればｘ＞１でｙ１＞０です。上に凸のグラフです。ｘ＝２でｙ１＝１はすぐに出ます。
ｙ２は反比例のグラフです。ｘ＝１でｙ２＝１です。
イメージが取れたら証明の手順は出てｊくるでしょう。
ｙ３＝ｌｏｇ(2)ｘ－１／ｘ 　のグラフを書くよりも楽だろうと思います。

お礼

お礼が遅れてすみませんでした。ありがとうございました。

回答No.1

bgm38489

変形すれば、２^(１/x)＝x　→　x^x＝２ですね。後は、y＝x^xのグラフを書き、ｙ＝２のときのｘを調べればすむことです。

お礼

ありがとうございました。