ａ,ｂ,ｃを並べて作る単語の列挙方法
- ａ,ｂ,ｃを並べて作る長さ１の単語はａ,ｂ,ｃです。
- ａ,ｂ,ｃを並べて作る長さ２の単語はａａ,ａｂ,ａｃ,ｂａ,ｂｂ,ｂｃ,ｃａ,ｃｂ,ｃｃです。
- 問題(２)と問題(３)の解答はわかりませんでした。解説をお願いします。
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問題文
問題文 ａ,ｂ,ｃの３文字を並べて単語を作る。ａ,ｂ,ｃをｎ個並べたとき、それを長さｎの単語とする。例えばａｂａｃ,ａｃｃｂ,ｂａｂｃは長さ４の単語である。 (１) 長さ１,長さ２の単語を列挙せよ (２) ａを奇数個含んでいるものをＸ[n],残りをＹ[n],とするとき、Ｘ[n＋1]をＸ[n]とＹ[n]で表せ。ただし０個は偶数とする。 (３) Ｘ[n]をｎの式で表せ (１)は解答することが出来ましたが、(２)でつまってしまい(３)は考えることも出来ませんでした。悔しいです。 この問題は、問題用紙でさえ回収されて、解答も解説も貰えない問題なので、どなたか解説をして頂けないでしょうか？ 一応(１)の私の解答も書いておきますので、間違っていたら指摘していただけると嬉しいです。 長さ１：ａ,ｂ,ｃ 長さ２：ａａ,ａｂ,ａｃ,ｂａ,ｂｂ,ｂｃ,ｃａ,ｃｂ,ｃｃ
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(1)は合っています (2) X[n+1]=X[n]*2+Y[n] ・長さnの単語のうち、aが奇数個並んでいる場合,それに1文字加え た結果,aが奇数個並ぶには,１単語につきb,cを加える2通りがある ・逆に,aが偶数個並んでいる場合,それに１文字加えた結果,aが奇数 個並ぶには,１単語につきaを加える1通りである。 (3) ・X[n]+Y[n]=3^n a,b,cを、n個分、重複を許して並べる場合の数 および(2)から、X[n+1]=X[n]*2+3^n-X[n]=X[n]+3^n 一方,(1)からX[1]=1 したがって、 X[n]=3^(n-1)+X[n-1]=・・・=3^(n-1)+…3^1+x[1] =(3^n-1)/2
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