デカルト座標系と円筒座標系

質問

デカルト座標系から円筒座標系にかあえて計算するときに、dxdydz→rdrdφdzと表記されますが、この「r」drdφdzのrとはなんなんでしょうか？
教えてください。

回答No.3

h191224 · ベストアンサー

No1の方の厳しいご指導の方針に逆らうようですが、
dｘdｙdｚ　→　ｒdｒdφdｚ
となる理由、要するに、円筒座標系で r が余計に掛かる理由については、簡単に説明できます。

変換前の座標系をｘｙｚとすると、dｘdｙdｚは、微小体積を意味します。
変換後の座標系をξηζとして、次の２つの条件が成り立つとき、微小体積は、やはりdξdηdζとなります。
(1)ξηζも直交座標系である。
(2)座標軸に伸縮がない。（ｘｙｚ→ξηζの変換は、座標回転と座標移動だけで表現できる。）
（もしあれば、伸縮倍率を掛ければ良い。）

（上記(1)(2)が成り立てば、dｘdｙdｚ＝dξdηdζ　となることは、自分で確認しましょう。）

今の場合、円筒座標系は立派な直交座標系ですから、(1)の条件は満足します。

(2)の伸縮は？
結論を先に示しましょう。
ひとまず、
ξ＝ｒ, η＝ｓ, ζ＝ｚ（ｓは円弧に沿った長さで、ｓ＝ｒφ）
と対応させれば、伸縮は生じません。

これは、次のように考えていけばわかります。
まず、ｚ→ｚの対応においては、当然伸縮はありません。
ｘ→ｒの対応においても、両方とも長さの次元を持つ量であって、伸縮はありません。（ｘ軸とｒ軸が一致しているとき、目盛りは一緒！）
残るｙですが、対応するφとは次元が異なります。（ｙは長さ、φは無次元）
そこで、ｙにはいったん角度φではなくて、円弧に沿う長さｓを対応させるのです。すると、ｘ→ｒの関係と同レベルの話になって、伸縮が生じないことがわかります。
要するに、微小体積は、
変換前dｘdｙdｚ　→　変換後　dｒdｓdｚ
となります。

dｓ＝ｒdφ＋θdｒとなりますが、ｓは円弧に沿う長さなのでdｒ＝０であり、
dｓ＝ｒdφ
すなわち、
変換前dｘdｙdｚ　→　変換後　dｒ(ｒdφ)dｚ
となってｒが出てくるわけです。

円筒座標系の偏微分の式などにおいては、φに関係する所でやたらとｒが関わって来るのですが、まずｄφではなくて、dｓで表示し、その後これをｒdφで置き換えれば簡単に理解できるケースが半分です。

なお、余談ですが、CAEが流行し始めてからというもの、デカルト座標系を直交座標系と呼ぶ”誤った呼び方”が普及してしまい、困ったものだと思っています。
デカルト座標系の正しい日本語訳は、直角座標系です。

お礼

丁寧な説明、ありがとうございました。
納得しました。

回答No.2

noname#175206

大変申し訳ありませんが、導出まではお教えできません。なぜなら、それは今後も理解して置かねば先に進めない基本事項だからです。ここをおろそかにすると、たとえば2階微分が出てきたら、またお手上げになります。「円筒座標 微分」などでネット検索して、分かりそうなページを探し、式の変形を書き写しながら、どうしてrが出てくるか、考えてください。おそらく極座標にも出くわすと思いますが、似ています。ここでもご自身で導出を理解することが必要です。

お礼

自分でも理解できるように努めます。
貴重な時間を割いてアドバイスいただきありがとうございました。

回答No.1

noname#175206

rは、円筒の半径、つまりz軸（デカルト座標系と円筒座標系共通）から目的の座標までの距離です。

補足

どういった計算式で導かれるのかも教えていただけるとありがたいです。