- ベストアンサー
極座標変換を用いる３重積分なんですが
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>D:0＜ｘ≦ｙ ｚ≧0 x > 0 より -π/2 < φ < π/2 y >= x より π/4 <= φ <= 5π/4 これらから φ の範囲は π/4 ～ π/2 z >= 0 より θ の範囲は 0 ～ π/2 r には何も条件がないので、その範囲は 0 ～ ∞
その他の回答 (1)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>∫∫∫[E] e^(-r^2)sinθ drdθdφ=Iとおく。 I=∫[π/4,π/2]dφ∫[0,∞]e^(-r^2)dr∫[0,π/2] sinθdθ =(π/4)*((√π)/2)*1=(π√π)/8 となります。 積分が積分の積に分離できますので簡単に積分できますね。
お礼
積に分離できるのはわかってたんですが、積分範囲がわかりませんでした・・ 回答ありがとうございました！
関連するQ&A
- 『楕円球体の三重積分を極座標変換を用いて解く』がわかりません。
楕円球体の三重積分が ∫∫∫dxdydz で 積分領域が Ｋ＝｛(x,y,z)｜(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)≦1｝ と、与えられています。 この問題を極座標変換を使って解けと教科書に書いてあるのですが、 x=r(sinθ)(cosφ) y=r(sinθ)(sinφ) z=r(sinθ) というように、変数(r,θ,φ)に変換したときの積分領域Ｋ’がわかりません。 θやφについては 0≦θ≦π 0≦φ≦2π になるだろうとなんとなく予想できるのですが、 rに関してはどのような範囲になるか全くわかりません。 どなたか説明も入れてよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三重積分の極座標変換の問題
∫∫∫z dxdydz (x^2+y^2+z^2≦1,z≧0) この問題の解きはじめに x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて dxdydz=r^2sinθdrdθdφ 範囲は0<r≦1,0≦θ≦π/2,0<φ≦2πと置きましたが 範囲はこれでよろしいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分 球面座標変換 数学
(1)～(3)の広義積分を解いてください、お願いします (1) I=∬∫D 1/(x^2+y^2+z^2)^2 dxdydz D：1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (1≦x^2+y^2+z^2≦a^2,x≧0,y≧0,z≧0として球面座標変換を行う) (2)I=∬D {log(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)^(1/2) dxdy D：0≦x^2+y^2≦4,x≧0,y≧0 (3)I=∬D {e^-(x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^(1/2) D：1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (4) I=∬[D] 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz D：{(x,y,z)|1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0} 球面座標変換を用いること 球面座標変換 x=rcosφsinθ, y=rsinθsinθ, z=rcosθ を用いること D ⇒ E：{(r,θ,φ)| 0≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2} E：{(r,θ,φ)| 1≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2}なぜこうならないのかも教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 三重積分の問題がわかりません。
学校の問題なんですが、 (1)∫∬D(z^n)dxdydz D：|x|+|y|+|z|≦a (2)∫∬1/(1+x^2+y^2+z^2)^2dxdydz の二問が解けません。 (1)は積分区間をどうすればいいのか解りません。 (2)は球座標に変換すると ∫∬r^2sinθ/(1+r^2)^2drdθdφ 0≦r≦∞,0≦θ≦π,0≦φ≦2π, となってr以外積分をすると 4π∬r^2/(1+r^2)^2dr となり、この後がうまくいきません。 この後はどうすればいいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の三重積分を解いていただけると有難いです。
極座標変換することにより、以下の積分を計算せよ。ただし、Rとdは正の定数で,z0は0<z0<R又はR+d<z0であるような定数とする。 ∫∫∫ 1/√(x＾2+y＾2+(z0-z)＾2) dxdydz D={R^2≦x^2+y^2+z^2≦(R+d)^2} rの範囲をどうとればいいのか分からないのと、θの積分計算で詰まってます。どなたか教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 三重積分の極座標変換のときのrの範囲が分からない
大学数学の解析で分からない問題があります。 A={(x, y, z)∈R^3 | x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1, x, y, z ≧0}のとき、∫A (x^2 + y^2 + z^2)dxdydz を求めよ。（∫AのAは領域のことです。） 三次元極座標変換をして ∫(x^2 + y^2 + z^2)dxdydz = ∫r^2(r^2sinθdrdθdΦ)となり、積分自体はできるのですが、rの積分範囲が分からず困っています。 x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 ≦ 1 , x, y, z ≧0より 0≦x≦a, 0≦y≦b, 0≦z≦c, 全辺二乗して足せば、 0≦x^2+y^2+z^2≦a^2+b^2+c^2 つまり 0≦r^2≦a^2+b^2+c^2 0≦r≦(a^2+b^2+c^2)^(1/2) と考えたのですが、計算が合いません。 θやΦも 0≦θ≦π/2 0≦Φ≦π/2 と考えたのですがあっていますでしょうか？ ちなみに答えは、πabc(a^2+b^2+c^2)/30となるようです。 そもそも方針が間違っているのでしょうか？ ご教授いただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三重積分の問題です。
空間の極座標変換を用いて、次の積分の値を計算しなさい。 ∬∫(x^2＋y^2＋z^2)dxdydz、範囲がx^2+y^2+z^2≦a^2 です。 極座標変換で(ｒ、θ、φ)=｛0≦r≦a 0≦θ≦2π 0≦φ≦2π｝と範囲をおき、 x=r sinθ cosφ y=r sinθ sinφ z=r cosθ と変換しました。 ここから積分の仕方が少しわかりませんでした。 一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。 もしわかる人がいましたら教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３重積分を３次元極座標を用いる場合
∫∫∫[D]x^2*y^2*dxdydz、D=｛(x,y,z):x^2+y^2+z^2≦1｝ という問題を３次元極座標を用いて計算するのですが、途中式で ∫[0→1]r^6dr∫[0→π]sin^5θdθ∫[0→2π]cos^2φ*sin^2φdφ になると思います。その時のθとφについての積分の計算方法が分かりません・・・。 助けてください！お願いします＞＜
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
0＜ｘ≦yの部分は範囲を分けて考えるんですね！ よく分かりました。 ありがとうございます！