ヤコビアンの公式の導出の話というより、直感的・視覚的に納得したいという話だと思います。
ご質問のURLにあるようにr>0, π/2>θ>0のところで図を描いてみましょう。直交座標系上で
点A: (x,y)=(r cosθ, r sinθ)
点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)
点C: ((r+dr)cos(θ+dθ), (r+dr) sin(θ+dθ))
点D: (r cos(θ+dθ), r sin(θ+dθ))
をプロットしますとナナメの長方形（っぽい）ものになる。でもdr, dθがうんと小さいんで、これは長方形である。この長方形ABCDの面積Sを計算したい。丁寧にこつこつやれば出来ますよ。
さて、点B: ((r+dr)cosθ, (r+dr) sinθ)というのは、「rをdrだけ増やした時、xとyがそれぞれ幾らになったか」を表す点です。すなわち点Bとは、(x+(∂x/∂r)dr, y+(∂y/∂r)dr)に他ならない。
そこで「rをdrだけ増やした時、xはどう変化するか」だけを考えると、
点E:(x+(∂x/∂r)dr, y)
がプロットできるでしょ。辺AEはx軸に平行で、長さが(∂x/∂r)drである。さらに、辺EBはy軸に平行で、長さが(∂y/∂r)drであり、この長さは「rをdrだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表しています。
同様にして、「θをdθだけ増やした時、xはどう変化するか」と考えると、
点F:(x+(∂x/∂θ)dθ,y)
がプロットできます。ただし(∂x/∂θ)dθは負ですね。辺AFはx軸に平行で、長さが-(∂x/∂θ)dθである。さらに、辺FDはy軸に平行で長さが(∂y/∂θ)dθであって、この長さは「θをdθだけ増やした時、yはどれだけ増えるか」を表している。
すると台形EBDFの面積は((EB+FD)EF)/2
=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)/2
また、
直角三角形ABEの面積は(EB)(AE)/2=(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)/2
直角三角形ADFの面積は(FD)(AF)/2=(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)/2
と表せます。これらを使って△ABDの面積が計算できますね。長方形ABCDの面積Sは△ABDの面積の２倍なので、
S=((∂y/∂r)dr+(∂y/∂θ)dθ)((∂x/∂r)dr-(∂x/∂θ)dθ)-(∂y/∂r)(∂x/∂r)(dr dr)-(∂y/∂θ)(-∂x/∂θ)(dθ dθ)
=(∂y/∂θ)(∂x/∂r)drdθ-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)drdθ
=((∂y/∂θ)(∂x/∂r)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ))drdθ
です。そして、
∂x/∂r=cosθ
∂y/∂r=sinθ
∂x/∂θ=-r sinθ=-y
∂y/∂θ=r cosθ=x
より
S=(x cosθ+ysinθ)drdθ=rdrdθ
です。
投稿日時 - 2008-02-18 12:55:08
