線積分の座標変換？ヤコビアン？

質問

積分の座標変換のことについて質問です。
2重積分や3重積分では、
x=x(u,v), y=y(u,v)
などとおいたとき、ヤコビアン J を用いて

∫f(x,z)dxｄｚ = ∫f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv

となることはわかりました。|J|は面積の比を表すということもわかりました。しかし、線積分の場合どうなるかわかりません。
曲線の長さに沿った積分
∫f(x,z)ds
は、変数変換したあとはどのように表されるのでしょうか？
おそらく、変数変換前後の線素？の長さの比が入るのだと思うのですが・・・

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

＞∫f(x,z)dxｄｚ = ∫f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv
∫f(x,y)dxｄy =

＞∫f(x,z)ds
∫f(x,y)ds

の間違いですね。
質問の間違いに気付いたら補足ですぐ訂正するようにして下さい。

重積分は面積素（dxdyやdudv,曲座標ではrdrdθ）で積分しますが
線積分は面積素で積分するわけでありません。
積分路の曲線の接線方向の成分で積分しますのでヤコビアンではありません。
曲線の微少要素ds=√{(dx)^2 +(dy)^2}で積分します。
dxで積分する場合は
ds=√{(dx)^2 +(dy)^2}=√{1+(dy/dx)^2}dx=√{1+(y')^2}dx
と積分変数がxになります。y'は積分経路の曲線y=f(x)の導関数です。
この√{1+(y')^2}がヤコビアンに対応する変換要素になります。
（ヤコビアンではない）
∫c f(x,y)ds=∫x f(x,y(x))√{1+(y')^2}dx

積分路がパラメータ表示であれば、x=x(t),y=y(t)であれば
ds=√{(dx)^2 +(dy)^2}=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
と積分変数がtになります。
この√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}がヤコビアンに対応する変換要素になります。
∫c f(x,y)ds=∫x f(x(t),y(t))√{(x')^2+(y')^2}dt

また、物理でいう電界中を電荷が電界から力F(x,y)(ベクトル)を受けながら積分路cにそって移動する時の仕事量の場合は、力と成分路の微少ベクトルの内積をとって、線積分します。
∫c Fs(x,y)・ds
Fs(x,y)はベクトルF(x,y)のdr方向成分。drベクトルは積分経路方向の微少ベクトルでdsはその絶対値です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>質問の間違いに気付いたら補足ですぐ訂正するようにして下さい。
すいません。zとyがごっちゃになってしまいました。
zをyに置き換えていただきたいと思います。

私の勘違いでした。座標変換と経路のパラメタ表示を混同していました。
線積分なら、経路が一つのパラメータで表せるので、
> ∫c f(x,y)ds=∫x f(x(t),y(t))√{(x')^2+(y')^2}dt
で、良いのですね。ありがとうございました。

回答No.1

connykelly

>線積分の場合どうなるかわかりません。

重積分、線積分の定義や具体的な計算例をよく見て考えましょう。手助けとして以下の講義ノートが参考になるでしょう。
http://cis.k.hosei.ac.jp/~kano/
↓
+ 2007No.6：多重積分
↓
講義ノート （6）
年度 微積分学

お礼

ご回答、ありがとうございます。
なんだか、自分でも線積分が十分わかっていなようで、
もっと理解しないといけませんでした。
ありがとうございます。