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数学は正しい？
aminouchiの回答
- aminouchi
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gattoさんがお持ちになったような疑問は１９世紀頃に生じてきて それは「数学基礎論」という学問として２０世紀にまとめられてい ます。panchoさんのお答えになっているゲーデルの「完全性定理」 とか「不完全性定理」というのは、その中で得られた重要な結果で す。 公理や公理系や証明ということに関してのさまざまな歴史的経緯に ついては省略しますが、現在では、公理とはある公理系を満たすた めの出発点の命題でしかなく、任意に選べるものとされています。 （この「任意」という言葉の意味は絶対的必然性はない、ぐらい に考えてください）もちろん、公理系自体は無矛盾であるように 慎重に設定されなければなりませんし、数学のできるだけ広い範 囲を定理として証明できるようにしなくてはいけません。 １９３1年に発表された「不完全性定理」では「ある公理系の定理 の中にその公理系では証明も反証もできない命題を作り得る」こ とが証明されました。すなわち、これはgattoさんの思うような >「ある原理A」みたいなものから、すべての数学の体系は導出できる >というわけでしょうか？ が不可能であることを示しています。 これでgattoさんの疑問にはお答えできたのではないかと思います。 さらに詳しく知りたければ「数学基礎論」または「数理論理学」の 入門書などをお読みになることをお勧めいたします。 以下は余分なことですが、panchoさんのお答えの中の >もちろん、逆に「公理系が矛盾を起こすことの証明」 について詳しい説明をお聞きしたく思いますのでよろしく。
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