数学は正しい？

質問

公理っていうのは、数学のいろいろな定理を支える
真理みたいなものとしてあつかわれていますが、
たとえばその「公理」自体を証明することはできるのでしょうか。
「自明」であるとしてだれも証明したことはないのでしょうか。
その真理性みたいなものを疑った人はいないのでしょうか。

「ある原理A」みたいなものから、すべての数学の体系は導出できる
というわけでしょうか？
とすればその「原理A」とはどのようなものなんでしょうか？
そのA自体を疑うことは、その行為自体可能でしょうか？

回答No.3

noname#25358

完全性定理と不完全性定理の正しい記述です(笑)
　とは言え数学は詳しくないので哲学の方面から。

　「証明できる」とはどういうことか？　問いを考えてみます。
　すると、「見える」「証拠がある」「理論的に考えてそうとしか思えない」などという答えが出て来るでしょう。
　では次に、「自分自身に自我があることを証明出来るか」という問いを考えてみます。すなわち、自分の自我が催眠術か何かによって作られたものではなく、自分の意思で１から作り出したものであるという証明。

　考えてみれば分かると思いますが、できないんです。
　まあ、途中経過は省きますが、なぜできないのかというと、「自我」は「主観」――つまり「絶対」の産物だからです。あなたが絶対的（主観的）に「今自分はここにいる」と思っているからこそ自我は存在するのであって、それを他人に見せることはできません。
　ゆえに、「絶対的なものは証明できない」のです。
　「証明」を行うためには、その事象が「相対的」なものでなければいけません。（ここでいう相対は、絶対という言葉の対となる）

　ですから、ある事象を完全に証明しようと思ったら、それ全体を相対的に見なければいけません。
　するとどうなるでしょう。
　「すべての物は相対的である」という絶対法則が成立してしまいます。
　ところが、「すべての物は相対的である」ということは「すべての物は相対的である、という絶対法則も相対的である」という絶対法則が成立するんです。

　この法則自体、文法的にすらおかしいですよね(笑)

　ゆえに、ある事象（この場合は「数学公理」）を完全無欠に証明することは不可能ということになります。
　これが「完全性定理」です。

　ということはどういうことでしょう。
　仮に「完全無欠な数学公理」があったとすると、先の証明から「完全な証明は不可能」ですから、その「不可能な部分」はもしかしたら嘘かもしれないもので補完されているということになります。
　ゆえに、「完全な定理は、もしかしたら嘘かもしれない証明が混じっている」という法則が成り立ち、これが「不完全性定理」です。

　駆け足で分かりにくい説明だったと思いますが、分からないところは補足ください(^_^;