高校数学範囲内での中間値の定理の導出について

質問

現在大学生で高校生に数学を教えている者です。
高校の解析学としては最大・最小値の定理はロル→平均値→ロピタル→テイラーの定理に繋がる原理として認めなければいけない定理と考えていますが、中間値の定理はこれを認めたときに高校数学の範囲内で導出できるのでしょうか？
一応区間縮小法を使っての導出を考えているのですが、もっとシンプルな方法は無いか探しております。
手元には区間縮小法を使った導出、f(x)＞0とf(x)≦0を満たすxの集合に分ける方法があります。
どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

そのようなことを目指したと思われる証明を見かけましたので、
参考ＵＲＬに挙げておきます。

実数の連続性については、連続関数が閉区間で最大・最小値を持つ
ことを天下りに認めてしまえば、話が済んだことになるようです。

もっとも、収束性の概念自体を定義しない高校数学で、
このような基礎事項を証明したようなフリをすることに
意味があるのかどうかは、大いに疑問です。

個人的感想ですが、＃１さんが仰るような図によって
中間値定理に合意し、それを使って、逆に
最大・最小値の定理を証明してしまうほうが、
美しいように思います。

参考URL：

http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/intvalth.htm

お礼

わざわざ証明を張って下さってありがとうございます。
arrysthmia様のおっしゃるとおり、最大値⇒中間値のこの証明はあまり美しくないですね。。。(教えてもらっておいて厚かましいですが、ご容赦ください^^;)
寧ろ中間値の定理から最大値の定理はシンプルに証明可能なのでしょうか？（それとも「それを使って」は「図」にかかるのでしょうか。）

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。中間値の定理を高校数学の範囲で導出は無理ではないかと思います。なぜなら、中間値の定理の証明には『関数の連続性』と『実数の連続性』が必要であり、それらの事柄は高校数学の範囲を超えているからです。

ですから、高校の教科書で中間値の定理はグラフを描いて、直感的に説明していると思います。高校生に中間値の定理を教えるのならば、導出を探すよりこの方法がシンプルで理解させやすいと思いますが…。

お礼

やはり、実数の連続性が絡んできてしまうんですよね。。。
個人的には中間値あるいは最大値の定理のどちらかを公理的に用いて、シンプルに連関性が示せれば良いかな、と思うのですがやはりこの二つは独立に覚えないといけないのでしょうか。

高校の解析学は厳密性より寧ろ直感を育てることを目的としている様なので、直感的に教えたほうが良いのかも知れませんね。どうもありがとうございました。