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ベクトル 内積
正六角形ABCDEFにおいて、AB=a BC=bとするとき、次の問に答えよ。 (↑AB、aなどの上には→があります。) (1)AC、ADをa、bで表せ。 (2)AC・AD=1のとき、a・bを求めよ。 という問題で、 (1)はAC=2a+b AD=2a+2bと答えが出せたのですが、 (2)が全くわかりません。 誰か教えて下さい。
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ベクトルは大きさと向きを合わせ持っているので、 ある意味簡単に扱うことができます。 問題にかかる前に、絵は描くようにしましょう。 （されているとは思います） ＞(1)AC、ADをa、bで表せ。 ベクトルACとは、「点Aから点Cに向かう大きさと向き」ということです。 少し乱暴な言い方をすれば、「結果、点Aから点Cに行けばいい」となります。 点Bを経由したとしても、結果がA→Cならば同じベクトルになります。 AC↑= AB↑+ BC↑となります。 （Bをはさみこんでいると見ることもできます） AD↑については、平行なベクトルがすでにありますよね。 向きは同じということですので、あとは大きさの関係がわかればもとまります。 ＞(2)AC・AD=1のとき、a・bを求めよ。 これが見かけによらず意外とやっかいです。 正六角形の1辺の長さ＝ a↑の大きさ＝ b↑の大きさがわかっていません。 まず、これを求めます。 内積の定義から AC・AD= (辺ACの長さ)×(辺ADの長さ)×cos(角CAD) となります。 正六角形の 1辺の長さを Lとでもおいて、辺AC、辺ADの長さを表しましょう。 ピタゴラスの定理などを使います。 角CADは、30度になることは図からわかると思います。 Lが求まったところで、次はベクトルで内積を計算します。 (1)の結果を用いて、ベクトルで計算します。 b↑の大きさは、先に Lとして求められています。 答えは簡単な分数になります。
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ご回答ありがとうございました。